Analyse de l'énoncé

Cet exercice de Première Spécialité Mathématiques porte sur les probabilités conditionnelles, un pilier du programme de spécialité. Il illustre une application concrète des statistiques : la méthode des réponses randomisées. L'objectif est de masquer la réponse individuelle pour garantir l'anonymat, tout en permettant une estimation globale d'un comportement sensible (ici, la consommation de cannabis).

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, il faut maîtriser :

• La construction d'un arbre pondéré et la règle du produit sur les branches.
• La formule des probabilités totales pour exprimer une probabilité globale en fonction d'une inconnue $p$.
• La définition de la probabilité conditionnelle : $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
• La manipulation rigoureuse des fractions.

Correction détaillée

1. Justification de $P_{\overline{C}}(O) = 1/6$

Si l'adolescent n'a jamais consommé de cannabis (évènement $\overline{C}$), il répond « oui » exclusivement si le résultat du dé est 6. Comme le dé est équilibré, la probabilité d'obtenir 6 est $\frac{1}{6}$. Ainsi, $P_{\overline{C}}(O) = \frac{1}{6}$.

2. Arbre de probabilités

Sur la branche $C$ :
- $P_C(O) = \frac{1}{6}$ (dé fait 6) + $\frac{4}{6}$ (dé fait 1, 2, 3 ou 4 et réponse sincère) = $\frac{5}{6}$.
- $P_C(N) = \frac{1}{6}$ (dé fait 5).
Sur la branche $\overline{C}$ :
- $P(\overline{C}) = 1 - p$.
- $P_{\overline{C}}(O) = \frac{1}{6}$.
- $P_{\overline{C}}(N) = \frac{1}{6}$ (dé fait 5) + $\frac{4}{6}$ (dé fait 1, 2, 3 ou 4 et réponse sincère) = $\frac{5}{6}$.

3. Détermination de $p$

D'après la formule des probabilités totales :
$P(O) = P(C \cap O) + P(\overline{C} \cap O) = P(C) \times P_C(O) + P(\overline{C}) \times P_{\overline{C}}(O)$
$P(O) = p \times \frac{5}{6} + (1 - p) \times \frac{1}{6} = \frac{5p}{6} + \frac{1}{6} - \frac{p}{6} = \frac{4p}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3}p + \frac{1}{6}$.
On sait que $P(O) = \frac{3}{5}$, donc $\frac{2}{3}p + \frac{1}{6} = \frac{3}{5}$.

Résolution de l'équation :
$\frac{2}{3}p = \frac{3}{5} - \frac{1}{6} = \frac{18 - 5}{30} = \frac{13}{30}$.
$p = \frac{13}{30} \times \frac{3}{2} = \frac{39}{60} = \frac{13}{20}$.

4. Calcul de $P_N(\overline{C})$

On cherche $P_N(\overline{C}) = \frac{P(\overline{C} \cap N)}{P(N)}$.
$P(N) = 1 - P(O) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$.
$P(\overline{C} \cap N) = (1 - p) \times \frac{5}{6} = (1 - \frac{13}{20}) \times \frac{5}{6} = \frac{7}{20} \times \frac{5}{6} = \frac{35}{120} = \frac{7}{24}$.
$P_N(\overline{C}) = \frac{7/24}{2/5} = \frac{7}{24} \times \frac{5}{2} = \frac{35}{48}$.