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Probabilités
Probabilités conditionnelles
Exercice Première Spécialité - 2020 - Ex 4 : Probabilités conditionnelles
1 juin 2020
Première Spécialité
Révise les Probabilités avec cet exercice ! ✈️
Tu veux exceller au contrôle continu en Première Spécialité ? Cet exercice sur les probabilités conditionnelles est un incontournable des sujets de bac. Apprends à :
- ✅ Construire et compléter un arbre pondéré sans erreur.
- ✅ Appliquer la formule des probabilités totales avec rigueur.
- ✅ Calculer des probabilités inversées pour briller en classe.
- ✅ Tester l'indépendance d'évènements complexes.
Boostez vos résultats avec cette analyse experte ! 🚀
✅ Correction
🫣
Correction Masquée
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Analyse de l'énoncé
Cet exercice de mathématiques, issu du programme de Première Spécialité, porte sur l'étude des probabilités conditionnelles dans un contexte concret : le contrôle de sécurité aéroportuaire. L'objectif est de modéliser une situation d'incertitude à l'aide d'un arbre pondéré et d'appliquer la formule des probabilités totales ainsi que la définition de l'indépendance de deux évènements.
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, l'élève doit maîtriser plusieurs concepts fondamentaux :
- Lecture de l'énoncé : Il est crucial de ne pas confondre les probabilités a priori (comme P(M)) et les probabilités conditionnelles (comme PM(S)).
- Loi des nœuds : La somme des probabilités issues d'un même nœud dans un arbre doit toujours être égale à 1.
- Formule des probabilités totales : Savoir que P(S) s'obtient en sommant les probabilités des chemins menant à l'évènement S.
- Conditionnement inverse : Calculer PS(M) nécessite la formule de Bayes : P(M∩S) / P(S).
Correction détaillée et guide de résolution
1. Identification des données :
D'après l'énoncé, 1 voyageur sur 500 porte un objet métallique, donc P(M) = 1/500 = 0,002. On nous donne également PM(S) = 0,95 et PM̅(S̅) = 0,96.
2. Construction de l'arbre :
L'arbre se compose de deux branches principales issues de la racine : M (0,002) et M̅ (0,998). Ensuite, à partir de M, on a S (0,95) et S̅ (0,05). À partir de M̅, on a S (0,04 car 1 - 0,96) et S̅ (0,96).
3. Calcul de P(S) :
En appliquant la formule des probabilités totales :
P(S) = P(M ∩ S) + P(M̅ ∩ S) = (0,002 × 0,95) + (0,998 × 0,04)
P(S) = 0,0019 + 0,03992 = 0,04182. Le résultat est conforme à l'attendu.
4. Probabilité de porter un objet sachant que le portique sonne :
On cherche PS(M).
PS(M) = P(M ∩ S) / P(S) = 0,0019 / 0,04182 ≈ 0,045.
Notez que malgré la précision du portique, si celui-ci sonne, il n'y a que 4,5 % de chances que le passager porte réellement un objet métallique (ceci est dû à la rareté de l'évènement M).
5. Indépendance :
Deux évènements sont indépendants si P(M ∩ S) = P(M) × P(S).
Ici, P(M ∩ S) = 0,0019 et P(M) × P(S) = 0,002 × 0,04182 = 0,00008364.
Les valeurs sont différentes, donc M et S ne sont pas indépendants.