Analyse de l'énoncé et enjeux de l'exercice

Cet exercice est un classique des épreuves de mathématiques en Première Spécialité. Il porte sur les probabilités conditionnelles dans un contexte concret : l'organisation d'activités dans un camping. L'objectif est de vérifier la capacité de l'élève à traduire un énoncé textuel en un modèle mathématique rigoureux (l'arbre pondéré) et à manipuler les formules fondamentales du chapitre.

Points de vigilance et notions clés

• Construction de l'arbre : La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud doit toujours être égale à 1. C'est l'erreur la plus fréquente (par exemple, confondre la donnée '70% ne profitent pas' avec sa probabilité complémentaire).
• Intersection vs Conditionnelle : Il est crucial de distinguer \(P(A \cap F)\) (le campeur est en famille ET fait des activités) de \(P(A|F)\) (sachant qu'il est en famille, il fait des activités).
• La formule des probabilités totales : Elle est indispensable pour calculer \(P(A)\) lorsque l'événement \(A\) dépend d'une partition de l'univers (ici \(F\) et \(\overline{F}\)).

Guide de résolution détaillé

1. Compléter l'arbre :
- Pour \(F\) : \(P(F) = 0,6\), donc \(P(\overline{F}) = 1 - 0,6 = 0,4\).
- Pour la branche famille : \(P(A|F) = 0,35\), donc \(P(\overline{A}|F) = 0,65\).
- Pour la branche amis : \(P(\overline{A}|\overline{F}) = 0,70\) (donnée), donc \(P(A|\overline{F}) = 0,30\).

2. Calcul de \(P(F \cap \overline{A})\) :
On suit le chemin \(F \to \overline{A}\) dans l'arbre : \(P(F \cap \overline{A}) = P(F) \times P_{\overline{A}}(F) = 0,6 \times 0,65 = 0,39\).
Interprétation : La probabilité que le campeur choisi vienne en famille et ne profite pas des activités est de 0,39 (soit 39% des campeurs).

3. Probabilités totales :
\(P(A) = P(F \cap A) + P(\overline{F} \cap A)\).
\(P(A) = (0,6 \times 0,35) + (0,4 \times 0,3) = 0,21 + 0,12 = 0,33\). On retrouve bien la valeur attendue.

4. Probabilité conditionnelle inverse :
On cherche \(P_A(F) = \frac{P(F \cap A)}{P(A)} = \frac{0,21}{0,33} = \frac{7}{11} \approx 0,64\).
Sachant qu'un campeur profite des activités, il y a environ 64% de chances qu'il soit venu en famille.