Analyse de l'énoncé et enjeux de l'exercice

Cet exercice est un classique des épreuves de mathématiques en Première Spécialité. Il porte sur les probabilités conditionnelles dans un contexte concret : l'organisation d'activités dans un camping. L'objectif est de vérifier la capacité de l'élève à traduire un énoncé textuel en un modèle mathématique rigoureux (l'arbre pondéré) et à manipuler les formules fondamentales du chapitre.

Points de vigilance et notions clés

• Construction de l'arbre : La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud doit toujours être égale à 1. C'est l'erreur la plus fréquente (par exemple, confondre la donnée '70% ne profitent pas' avec sa probabilité complémentaire).
• Intersection vs Conditionnelle : Il est crucial de distinguer $P(A \cap F)$ (le campeur est en famille ET fait des activités) de $P(A|F)$ (sachant qu'il est en famille, il fait des activités).
• La formule des probabilités totales : Elle est indispensable pour calculer $P(A)$ lorsque l'événement $A$ dépend d'une partition de l'univers (ici $F$ et $\overline{F}$).

Guide de résolution détaillé

1. Compléter l'arbre :
- Pour $F$ : $P(F) = 0,6$, donc $P(\overline{F}) = 1 - 0,6 = 0,4$.
- Pour la branche famille : $P(A|F) = 0,35$, donc $P(\overline{A}|F) = 0,65$.
- Pour la branche amis : $P(\overline{A}|\overline{F}) = 0,70$ (donnée), donc $P(A|\overline{F}) = 0,30$.

2. Calcul de $P(F \cap \overline{A})$ :
On suit le chemin $F \to \overline{A}$ dans l'arbre : $P(F \cap \overline{A}) = P(F) \times P_{\overline{A}}(F) = 0,6 \times 0,65 = 0,39$.
Interprétation : La probabilité que le campeur choisi vienne en famille et ne profite pas des activités est de 0,39 (soit 39% des campeurs).

3. Probabilités totales :
$P(A) = P(F \cap A) + P(\overline{F} \cap A)$.
$P(A) = (0,6 \times 0,35) + (0,4 \times 0,3) = 0,21 + 0,12 = 0,33$. On retrouve bien la valeur attendue.

4. Probabilité conditionnelle inverse :
On cherche $P_A(F) = \frac{P(F \cap A)}{P(A)} = \frac{0,21}{0,33} = \frac{7}{11} \approx 0,64$.
Sachant qu'un campeur profite des activités, il y a environ 64% de chances qu'il soit venu en famille.