Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un classique des épreuves de spécialité mathématiques en classe de Première. Il mobilise deux piliers du programme : les probabilités conditionnelles (via un arbre pondéré) et les variables aléatoires (loi de probabilité et espérance). L'expérience se déroule en deux étapes : d'abord le lancer d'un dé qui détermine l'urne choisie (U ou V), puis le tirage d'une boule. La difficulté principale réside dans la lecture attentive de l'énoncé pour ne pas confondre les effectifs des urnes avec les probabilités et bien définir le gain algébrique.

Points de vigilance

• Calcul des probabilités initiales : Le dé est équilibré. L'évènement $U$ (obtenir 1 ou 6) a une probabilité de $2/6 = 1/3$. L'évènement $V$ (obtenir 2, 3, 4 ou 5) a une probabilité de $4/6 = 2/3$.
• Formule des probabilités totales : Pour trouver $P(R)$, il faut sommer les probabilités des deux chemins menant à une boule rouge : $U \cap R$ et $V \cap R$.
• Probabilité inversée : La question 3 demande $P_R(U)$. Attention à bien utiliser la formule $P_R(U) = \frac{P(U \cap R)}{P(R)}$.
• Gain algébrique : La variable aléatoire $\mathcal{G}$ représente le gain net. N'oubliez pas de soustraire la mise (1 €) aux sommes gagnées.

Correction détaillée

1. Arbre pondéré : L'arbre part d'un nœud initial vers $U$ ($p=1/3$) et $V$ ($p=2/3$). De $U$, deux branches : $B$ ($p=40/100=0,4$) et $R$ ($p=60/100=0,6$). De $V$, deux branches : $B$ ($p=70/100=0,7$) et $R$ ($p=30/100=0,3$).

2. Probabilité de tirer une boule rouge : D'après la formule des probabilités totales :
$P(R) = P(U) \times P_U(R) + P(V) \times P_V(R)$
$P(R) = \frac{1}{3} \times 0,6 + \frac{2}{3} \times 0,3 = 0,2 + 0,2 = 0,4$.

3. Probabilité que la boule provienne de U sachant qu'elle est rouge :
$P_R(U) = \frac{P(U \cap R)}{P(R)} = \frac{1/3 \times 0,6}{0,4} = \frac{0,2}{0,4} = 0,5$.

4. Variable aléatoire $\mathcal{G}$ :
a) Si la boule est rouge, le gain est $3 - 1 = 2$ €. Si elle est blanche, le gain est $0 - 1 = -1$ €.
Loi de probabilité :
\begin{array}{|c|c|c|}\hline g_i & -1 & 2 \\\hline P(G=g_i) & 0,6 & 0,4 \\\hline \end{array}
b) Espérance : $E(G) = (-1 \times 0,6) + (2 \times 0,4) = -0,6 + 0,8 = 0,2$.
Interprétation : Sur un grand nombre de parties, le joueur peut espérer gagner en moyenne 0,20 € par jeu. Le jeu est donc favorable au joueur.