Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques

Cet exercice, issu des épreuves de Première Spécialité de 2020, est un modèle classique pour l'étude des probabilités conditionnelles et des variables aléatoires. Il place l'élève dans un contexte de gestion commerciale (une entreprise de textile) où deux événements dépendants l'un de l'autre sont étudiés : l'achat d'une nappe (N) et l'achat d'un lot de serviettes (S).

La difficulté principale réside dans la traduction de l'énoncé en un arbre pondéré et l'application rigoureuse de la loi des probabilités totales. L'introduction d'une variable aléatoire $D$ liée au chiffre d'affaires permet d'évaluer la capacité de l'élève à lier les probabilités à un calcul d'espérance mathématique, notion fondamentale pour l'analyse statistique.

Points de vigilance et notions de cours

• L'arbre pondéré : La somme des probabilités issues d'un même nœud doit toujours être égale à 1.
• Probabilité de l'intersection : On multiplie les probabilités le long d'un chemin : $P(N \cap S) = P(N) \times P_N(S)$.
• Loi des probabilités totales : Pour calculer $P(S)$, il faut sommer les probabilités de tous les chemins menant à $S$ (ceux passant par $N$ et ceux passant par $\overline{N}$).
• L'espérance : Elle représente la moyenne pondérée des gains ou dépenses sur un grand nombre de clients.

Correction détaillée

1. Construction de l'arbre

D'après l'énoncé :

• $P(N) = 0,2$ donc $P(\overline{N}) = 1 - 0,2 = 0,8$.
• $P_N(S) = 0,7$ donc $P_N(\overline{S}) = 1 - 0,7 = 0,3$.
• $P_{\overline{N}}(S) = 0,1$ donc $P_{\overline{N}}(\overline{S}) = 1 - 0,1 = 0,9$.

2. Calcul de $P(N \cap S)$

$P(N \cap S) = P(N) \times P_N(S) = 0,2 \times 0,7 = 0,14$. La probabilité que le client achète les deux articles est de 0,14.

3. Loi des probabilités totales pour $P(S)$

Les événements $N$ et $\overline{N}$ forment une partition de l'univers. D'après la loi des probabilités totales : $P(S) = P(N \cap S) + P(\overline{N} \cap S) = 0,14 + (0,8 \times 0,1) = 0,14 + 0,08 = 0,22$. On retrouve bien la valeur attendue.

4. Probabilité inversée

On cherche $P_S(N) = \frac{P(N \cap S)}{P(S)} = \frac{0,14}{0,22} = \frac{14}{22} = \frac{7}{11} \approx 0,636$.

5. Variable aléatoire et Espérance

Déterminons les valeurs possibles pour $D$ :

• $D=70$ (Nappe + Serviettes) : $P(D=70) = 0,14$.
• $D=45$ (Nappe seule) : $P(D=45) = P(N \cap \overline{S}) = 0,2 \times 0,3 = 0,06$.
• $D=25$ (Serviettes seules) : $P(D=25) = P(\overline{N} \cap S) = 0,8 \times 0,1 = 0,08$.
• $D=0$ (Rien) : $P(D=0) = 0,8 \times 0,9 = 0,72$.

$E(D) = 70 \times 0,14 + 45 \times 0,06 + 25 \times 0,08 + 0 \times 0,72 = 9,8 + 2,7 + 2 = 14,5$.
Interprétation : En moyenne, un client dépense 14,50 € dans cette entreprise.