Analyse de l'énoncé

Cet exercice est une application classique du programme de Première Spécialité Mathématiques concernant le chapitre des probabilités. Il se décompose en deux parties : une étude de probabilités conditionnelles s'appuyant sur un arbre de probabilité, et la détermination d'une loi de probabilité pour une variable aléatoire. L'énoncé met en scène deux élevages de chats avec des répartitions de couleurs (Chocolat et Blue) différentes, ce qui nécessite une lecture attentive pour ne pas inverser les données.

Points de vigilance et notions de cours

• L'arbre pondéré : Chaque nœud doit avoir des branches dont la somme des probabilités est égale à 1. Attention à bien distinguer $P(B)$ (probabilité de l'événement Blue) et $P_A(B)$ (probabilité d'être Blue sachant que le chaton vient de l'élevage A).
• La formule des probabilités totales : Utilisée pour calculer $P(\overline{B})$, elle consiste à sommer les probabilités des intersections menant à l'événement souhaité.
• La probabilité conditionnelle inverse : Pour calculer $P_B(\overline{A})$, on utilise la définition $P_B(\overline{A}) = \frac{P(\overline{A} \cap B)}{P(B)}$.
• Variable aléatoire : Bien identifier les valeurs possibles de $X$ (les prix) et leur associer les probabilités correspondantes calculées précédemment.

Correction détaillée

1. Étude de l'arbre et probabilités

L'arbre se complète ainsi : $P(A) = 0,4$ et $P(\overline{A}) = 0,6$. Pour les branches secondaires : sachant $A$, $P(\overline{B}) = 0,75$ (Chocolat) et $P(B) = 0,25$ (Blue). Sachant $\overline{A}$, $P(\overline{B}) = 0,30$ et $P(B) = 0,70$.

Question 1.b : $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(\overline{B}) = 0,6 \times 0,3 = 0,18$. Cela signifie qu'il y a 18 % de chances que le chaton provienne du second élevage ET soit de couleur Chocolat.

Question 1.c : D'après la formule des probabilités totales :
$P(\text{Chocolat}) = P(\overline{B}) = P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap \overline{B}) = (0,4 \times 0,75) + 0,18 = 0,30 + 0,18 = 0,48$. Le résultat est bien vérifié.

Question 1.d : On cherche $P_B(\overline{A}) = \frac{P(\overline{A} \cap B)}{P(B)}$.
On sait que $P(B) = 1 - P(\overline{B}) = 1 - 0,48 = 0,52$.
$P(\overline{A} \cap B) = 0,6 \times 0,7 = 0,42$.
Ainsi, $P_B(\overline{A}) = \frac{0,42}{0,52} \approx 0,81$ à $10^{-2}$ près.

2. Loi de probabilité de X

La variable aléatoire $X$ peut prendre deux valeurs : $100$ (si le chaton est Blue, événement $B$) et $75$ (si le chaton est Chocolat, événement $\overline{B}$).
La loi de probabilité est donc :

• $P(X = 100) = P(B) = 0,52$
• $P(X = 75) = P(\overline{B}) = 0,48$