Analyse de l'énoncé

Cet exercice de probabilités s'inscrit parfaitement dans le programme de Première Spécialité Mathématiques. Il traite d'un cas concret : le choix d'orientation des élèves. L'énoncé fournit des effectifs bruts, ce qui demande une première étape de traitement pour déterminer l'univers (l'effectif total) et les intersections d'évènements. La difficulté réside dans la distinction entre les probabilités d'intersection (\(P(A \cap B)\)) et les probabilités conditionnelles (\(P_A(B)\)).

Points de vigilance

• L'univers : Le nombre total d'élèves est de \(110 + 90 = 200\).
• Lecture de l'énoncé : '5 filles ne poursuivent pas' correspond à l'évènement \(F \cap \overline{S}\).
• Indépendance : Deux évènements sont indépendants si et seulement si \(P(G \cap S) = P(G) \times P(S)\) (ou via les probabilités conditionnelles).

Correction détaillée

1. Calcul des probabilités simples :

• Effectif total \(n = 200\).
• \(p(G) = \frac{90}{200} = 0,45\).
• \(p(G \cap \overline{S}) = \frac{8}{200} = 0,04\).
• Pour \(p(\overline{S})\), on compte tous ceux qui arrêtent : 5 filles et 8 garçons, soit 13 élèves. \(p(\overline{S}) = \frac{13}{200} = 0,065\).

2. Probabilité conditionnelle :

On cherche \(p_{\overline{S}}(G)\). Par définition :
\(p_{\overline{S}}(G) = \frac{p(G \cap \overline{S})}{p(\overline{S})} = \frac{0,04}{0,065} = \frac{40}{65} = \frac{8}{13}\).

3. Test d'indépendance :

Comparons \(p_{\overline{S}}(G)\) et \(p(G)\) :
\(p_{\overline{S}}(G) = \frac{8}{13} \approx 0,615\)
\(p(G) = 0,45\).
Comme \(p_{\overline{S}}(G) \neq p(G)\), les évènements \(G\) et \(\overline{S}\) ne sont pas indépendants. Par conséquent, \(G\) et \(S\) ne sont pas indépendants non plus.