Analyse de l'énoncé
Cet exercice, issu des épreuves de 2020, est un QCM complet balayant plusieurs chapitres fondamentaux du programme de Première Spécialité Mathématiques. Il évalue la capacité de l'élève à mobiliser rapidement des formules de géométrie analytique, de trigonométrie et des notions de base en programmation Python.
Points de vigilance et notions clés
- Géométrie vectorielle : Savoir calculer un produit scalaire dans un repère orthonormé avec la formule \(xx' + yy'\).
- Théorème d'Al-Kashi : Indispensable pour calculer une longueur dans un triangle quelconque quand on connaît deux côtés et l'angle compris entre eux.
- Équation de cercle : Maîtriser le passage de la forme canonique \((x-x_A)^2 + (y-y_A)^2 = R^2\) à la forme développée.
- Cercle trigonométrique : Comprendre la périodicité de \(2\pi\) pour trouver des points images confondus.
- Python : Analyser la structure d'une boucle
range et l'évolution d'une variable cumulative.
Correction détaillée
Question 1 : On utilise la formule analytique : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v = (-2 \times 3) + (4 \times -6) = -6 - 24 = -30\). La réponse correcte est la b.
Question 2 : D'après le théorème d'Al-Kashi : \(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})\). \(BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos(60^{\circ})\). Or \(\cos(60^{\circ}) = 0,5\). Donc \(BC^2 = 25 + 49 - 35 = 39\). On en déduit \(BC = \sqrt{39}\). La réponse correcte est la d.
Question 3 : L'équation cartésienne est \((x-2)^2 + (y-3)^2 = 4^2\). En développant : \(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 16\). Soit \(x^2 - 4x + y^2 - 6y - 3 = 0\). La réponse correcte est la c.
Question 4 : On cherche un réel \(x\) tel que \(x = \frac{-23\pi}{3} + 2k\pi\). On remarque que \(\frac{-23\pi}{3} = \frac{-24\pi + \pi}{3} = -8\pi + \frac{\pi}{3}\). Comme \(-8\pi\) est un multiple de \(2\pi\), le point image est le même que celui de \(\frac{\pi}{3}\). La réponse correcte est la b.
Question 5 : L'algorithme initialise \(L = [1]\). La boucle range(1, 4) s'exécute pour \(i=1, 2, 3\).
- Pour \(i=1\) : \(U = 2 \times 1 + 3 = 5\), \(L = [1, 5]\).
- Pour \(i=2\) : \(U = 2 \times 5 + 3 = 13\), \(L = [1, 5, 13]\).
- Pour \(i=3\) : \(U = 2 \times 13 + 3 = 29\), \(L = [1, 5, 13, 29]\).
La réponse correcte est la b.