Analyse de l'énoncé

Cet exercice de niveau Première Spécialité Mathématiques articule trois notions fondamentales du programme : la géométrie repérée (cercles et courbes), le produit scalaire comme outil d'orthogonalité, et la résolution d'équations du second degré. L'objectif final est de trouver les points de contact spécifiques entre une hyperbole et des contraintes géométriques vectorielles.

Points de vigilance et notions de cours

• Équation de cercle : Rappelez-vous que l'équation d'un cercle de centre $A(x_A; y_A)$ et de rayon $r$ est $(x-x_A)^2 + (y-y_A)^2 = r^2$.
• Produit scalaire et orthogonalité : Deux vecteurs non nuls $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$ sont orthogonaux si et seulement si $xx' + yy' = 0$. C'est la condition nécessaire pour qu'un angle soit droit.
• Appartenance à une courbe : Un point appartient à la courbe représentative d'une fonction si ses coordonnées vérifient l'équation de la courbe.
• Condition d'existence de l'angle : Pour parler d'angle $\widehat{DAM}$, le point $M$ doit être distinct du point $A$, sinon le vecteur $\vec{AM}$ est nul.

Guide de résolution détaillé

Partie A : Étude du cercle

1. Le centre est $A(3;1)$ et $r = \frac{\sqrt{37}}{2}$. En appliquant la formule du cours, on obtient $(x-3)^2 + (y-1)^2 = (\frac{\sqrt{37}}{2})^2 = \frac{37}{4}$. L'équation est donc vérifiée.

2. Pour $B(6; 0,5)$, calculons $(6-3)^2 + (0,5-1)^2 = 3^2 + (-0,5)^2 = 9 + 0,25 = 9,25$. Comme l'aide au calcul indique $9,25 = \frac{37}{4}$, le point $B$ appartient bien au cercle.

Partie B : Cas particulier

1. Pour $x=6$, $y = \frac{3}{6} = 0,5$. Les coordonnées de $B$ vérifient l'équation de l'hyperbole $\mathcal{H}$.

2. Les vecteurs sont $\vec{AD}\binom{4-3}{2-1} = \vec{AD}\binom{1}{1}$ et $\vec{AB}\binom{6-3}{0,5-1} = \vec{AB}\binom{3}{-0,5}$. Le produit scalaire est $1\times 3 + 1\times(-0,5) = 2,5$. Puisque le produit scalaire est non nul, l'angle n'est pas droit.

Partie C : Cas général

1. L'équation $x^2 - 4x + 3 = 0$ se résout via le discriminant $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4$. Les racines sont $x_1 = \frac{4-2}{2} = 1$ et $x_2 = \frac{4+2}{2} = 3$.

2. Soit $M(x; \frac{3}{x})$. $\vec{AM}$ a pour coordonnées $(x-3; \frac{3}{x}-1)$. L'angle $\widehat{DAM}$ est droit si $\vec{AD} \cdot \vec{AM} = 0$.
$1(x-3) + 1(\frac{3}{x}-1) = 0 \iff x - 4 + \frac{3}{x} = 0$.
En multipliant par $x$ (car $x>0$), on retrouve $x^2 - 4x + 3 = 0$. Les solutions sont $1$ et $3$. Cependant, si $x=3$, $M$ a pour coordonnées $(3;1)$, ce qui correspond au point $A$. Or, l'angle $\widehat{DAM}$ n'est défini que si $M \neq A$. Il ne reste donc qu'une seule solution : $x=1$. Le point unique est $M(1; 3)$.