Analyse de l'énoncé

Cet exercice sous forme de QCM balaye une large partie du programme de mathématiques de Première Spécialité. Il sollicite des compétences en géométrie repérée (équations cartésiennes), en analyse (dérivation et étude de signes du second degré) ainsi qu'en manipulation de la fonction exponentielle. La structure QCM permet de tester la rapidité de réflexion et la maîtrise des formules fondamentales.

Points de vigilance et notions clés

• Géométrie repérée : Un vecteur directeur $\vec{u}(-b; a)$ correspond à une équation de type $ax + by + c = 0$. Un vecteur normal $\vec{n}(a; b)$ correspond à la même structure.
• Dérivation : Le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$. Pour un produit $uv$, la dérivée est $u'v + uv'$.
• Second degré : Le signe d'un trinôme $ax^2 + bx + c$ dépend du signe de $a$. Il est du signe de $a$ à l'extérieur des racines.

Correction détaillée

Question 1 : Le vecteur directeur est $\vec{u}(-3; 1)$, donc $a=1$ et $b=3$. L'équation est de la forme $x + 3y + c = 0$. En passant par $A(-1; 2)$, on a $-1 + 3(2) + c = 0$, soit $5 + c = 0 \implies c = -5$. Réponse b.

Question 2 : Deux droites sont parallèles si leurs coefficients directeurs sont égaux. Pour $5x - 8y + 9 = 0$, la pente est $5/8$. Pour $2,5x - 4y + 2 = 0$, la pente est $2,5/4 = 5/8$. Réponse d.

Question 3 : Le nombre dérivé $f'(1)$ est la pente de la droite $(AB)$ avec $A(1; 1)$ et $B(0; -1)$. $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-1 - 1}{0 - 1} = \frac{-2}{-1} = 2$. Réponse c.

Question 4 : Le tableau montre que $f$ est négative à l'extérieur des racines $-1$ et $2$. On cherche donc un trinôme avec $a < 0$ et s'annulant pour ces valeurs. Pour $-x^2 + x + 2$, $\Delta = 1 - 4(-1)(2) = 9$. Les racines sont $(-1 \pm 3)/-2$, soit $-1$ et $2$. Réponse c.

Question 5 : Soit $f(x) = x e^x$. C'est un produit $uv$ avec $u(x)=x$ ($u'=1$) et $v(x)=e^x$ ($v'=e^x$). $f'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1 + x)e^x$. Réponse b.