Analyse de l'énoncé
Cet exercice de Première Spécialité porte sur la modélisation d'un phénomène thermique par une fonction exponentielle du type $f(t) = Ce^{at} + k$. Il s'agit d'étudier le refroidissement de pièces industrielles en acier. Les élèves doivent mobiliser des compétences en calcul différentiel, en étude de fonctions et en algorithmique Python.
Points de vigilance et notions de cours
- Dérivation : Savoir que la dérivée de $e^{ut}$ est $u \times e^{ut}$. Ici, la constante 25 s'annule lors de la dérivation.
- Étude de signe : Se rappeler que la fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$, le signe de la dérivée dépend donc uniquement du coefficient devant l'exponentielle.
- Modélisation Python : Comprendre la structure d'une boucle
while (boucle non bornée) pour trouver un seuil de température. - Inéquations : Savoir utiliser la calculatrice ou les propriétés des puissances pour comparer des valeurs, ou éventuellement le logarithme népérien si la notion a été introduite (bien que l'exercice propose ici une approche algorithmique).
Correction Détaillée
1. Température à la sortie du four : On calcule $f(0)$. Comme $e^{0} = 1$, alors $f(0) = 1375 \times 1 + 25 = 1400\text{°C}$.
2. Sens de variation : On dérive la fonction $f$ : $f'(t) = 1375 \times (-0,075)e^{-0,075t} = -103,125e^{-0,075t}$. Comme $e^{-0,075t} > 0$ pour tout $t$, on a $f'(t) < 0$. La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $[0 ; +\infty[$. Ce résultat est cohérent puisque la pièce refroidit en sortant du four.
3. Modelage des pièces :
- Après 10h : $f(10) = 1375e^{-0,75} + 25 \approx 674\text{°C}$. C'est au-dessus de 600\text{°C}, donc impossible.
- Après 14h : $f(14) = 1375e^{-1,05} + 25 \approx 506\text{°C}$. Comme $500 \leq 506 \leq 600$, les pièces peuvent être modelées.
4. Algorithmique Python : Les complétions sont :
t = 0
temperature = 1400
while temperature > 600 :
temperature = 1375 * exp(-0.075 * t) + 25 (ou f(t) si la fonction est définie).
En résolvant $1375e^{-0,075t} + 25 \leq 600$ à la calculatrice, on trouve $t \approx 11,6$ heures.