Analyse de l'énoncé

Cet exercice de Première Spécialité Mathématiques porte sur l'étude d'une fonction du second degré via ses représentations graphiques et analytiques. L'objectif principal est de manipuler la notion de dérivée en tant que coefficient directeur de la tangente en un point donné de la courbe représentative $\mathcal{C}$. Le sujet invite également l'élève à faire le lien entre lecture graphique et calcul algébrique pour résoudre des problèmes d'appartenance de points.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, il est crucial de maîtriser les points suivants :

• Lecture graphique : Identifier les intersections avec l'axe des abscisses pour résoudre $f(x) = 0$.
• Équation de la tangente : Savoir utiliser la formule fondamentale $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ au point d'abscisse $a$.
• Calcul de fonction : Bien que $f'(x)$ soit donnée, il faut savoir retrouver l'expression de $f(x)$ ou du moins calculer les images $f(a)$ nécessaires à partir du graphique ou de l'expression fournie implicitement.
• Résolution d'équations : Savoir manipuler des égalités pour prouver qu'un point appartient à une droite ou pour trouver des abscisses de points de tangence.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Résolution de $f(x) = 0$

Graphiquement, les solutions de l'équation $f(x) = 0$ correspondent aux abscisses des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses. En observant le graphique fourni, on constate que la courbe coupe l'axe horizontal aux points $(-2~;~0)$ et $(3~;~0)$.
L'ensemble des solutions est donc : $S = \{-2 ; 3\}$.

2. Équation de la tangente $T$ en $x = -1$

On nous donne $f'(x) = -x + 0,5$. Pour trouver l'équation de la tangente au point d'abscisse $a = -1$, on calcule :

• $f'(-1) = -(-1) + 0,5 = 1 + 0,5 = 1,5$.
• D'après le graphique (ou en plaçant le point), l'image de $-1$ est $f(-1) = 2$.

3. Le point E(1 ; 5) et les tangentes

a) Appartenance de E à $T$ : On remplace les coordonnées de $E(x_E, y_E)$ dans l'équation de $T$. Si $1,5(1) + 3,5 = 5$, alors $E \in T$. Comme $1,5 + 3,5 = 5$, le point E appartient effectivement à la tangente $T$.

b) Recherche d'un autre point de tangence : On cherche $a$ tel que la tangente en $a$ passe par $E(1, 5)$. Soit $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. En remplaçant par les coordonnées de E : $5 = (-a + 0,5)(1 - a) + f(a)$.
En sachant que $f(x) = -0,5x^2 + 0,5x + 3$ (déduit des racines et de la dérivée), on résout l'équation en $a$. Après simplification, on obtient une équation du second degré dont les solutions sont $a = -1$ et $a = 3$. L'autre point de la courbe est donc le point d'abscisse $x = 3$, soit le point de coordonnées $(3 ; 0)$.