Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur l'étude de fonctions polynomiales de degré 3, un grand classique du programme de Première Spécialité. Il mobilise deux compétences majeures : le calcul différentiel (dérivée et tangente) et l'étude algébrique de la position relative de deux courbes via le signe d'un trinôme du second degré.

Points de vigilance et notions requises

• Règles de dérivation : Il faut savoir dériver un polynôme terme à terme en utilisant la règle \(\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}\).
• Équation de la tangente : La formule \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\) doit être connue par cœur. L'erreur fréquente est d'oublier de calculer séparément \(f(a)\) et \(f'(a)\).
• Position relative : Pour comparer deux courbes, on étudie toujours le signe de la différence \(f(x) - g(x)\).
• Signe du second degré : Savoir calculer le discriminant \(\Delta\) et identifier les racines pour dresser un tableau de signes.

Correction détaillée

1. Calcul de la dérivée :
La fonction \(f\) est un polynôme : \(f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2\).
En appliquant les formules de dérivation, on obtient :
\(f'(x) = 3 \times 3x^2 - 5 \times 2x + 0 = 9x^2 - 10x\).

2. Équation de la tangente \(T\) au point d'abscisse \(-1\) :
On utilise la formule \(y = f'(-1)(x - (-1)) + f(-1)\).
Calculons d'abord les images :
• \(f(-1) = 3(-1)^3 - 5(-1)^2 + 2 = -3 - 5 + 2 = -6\).
• \(f'(-1) = 9(-1)^2 - 10(-1) = 9 + 10 = 19\).
L'équation devient : \(y = 19(x + 1) - 6 = 19x + 19 - 6\), soit \(y = 19x + 13\).

3. Position relative des courbes \(C_f\) et \(C_g\) :
a) \(f(x) - g(x) = (3x^3 - 5x^2 + 2) - (3x^3 - 4x + 1) = -5x^2 + 4x + 1\).
b) Étude du signe de \(-5x^2 + 4x + 1\).
C'est un trinôme avec \(a = -5, b = 4, c = 1\).
\(\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(-5)(1) = 16 + 20 = 36\).
Les racines sont : \(x_1 = \frac{-4 - 6}{-10} = 1\) et \(x_2 = \frac{-4 + 6}{-10} = -0,2\).
Le coefficient \(a\) est négatif, donc le trinôme est positif entre les racines.
c) \(C_f\) est au-dessus de \(C_g\) lorsque \(f(x) - g(x) \ge 0\), soit sur l'intervalle \([-0,2 ; 1]\).