Analyse de l'énoncé
Cet exercice porte sur l'étude d'une fonction polynôme de degré 3 : \(f(x) = 2x^3 + 2x^2 - 2x + 3\) sur l'intervalle \([-2 ; 2]\). Il combine plusieurs compétences clés du programme de Première Spécialité : la résolution algébrique d'équations (intersections de courbes), l'interprétation graphique de paramètres, et l'utilisation de la dérivation pour déterminer les variations d'une fonction.
Points de vigilance et notions requises
- Équations de degré supérieur : Pour trouver les points d'intersection, il faut savoir factoriser une expression polynomiale. Ici, la factorisation par \(x\) simplifie l'expression en un produit dont l'un des facteurs est un trinôme du second degré.
- Dérivation : La règle de dérivation d'un polynôme \(ax^n\) est fondamentale (\(nx^{n-1}\)).
- Signe et variations : Rappelez-vous que le signe de la dérivée \(f'(x)\) détermine le sens de variation de la fonction \(f\). Si \(f'(x) > 0\), la fonction est croissante.
Guide de résolution et correction
1. Intersections entre \(\mathcal{C}\) et la droite \(d\)
Pour trouver les abscisses des points d'intersection, on résout \(f(x) = 2x + 3\).
\(2x^3 + 2x^2 - 2x + 3 = 2x + 3 \iff 2x^3 + 2x^2 - 4x = 0\).
En factorisant par \(2x\), on obtient : \(2x(x^2 + x - 2) = 0\). C'est l'équation demandée.
Pour les coordonnées, on résout \(x^2 + x - 2 = 0\). Le discriminant \(\Delta = 1^2 - 4(1)(-2) = 9\). Les racines sont \(x_1 = \frac{-1-3}{2} = -2\) et \(x_2 = \frac{-1+3}{2} = 1\). L'autre solution est \(x=0\).
Les points d'intersection sont \(A(-2 ; -1)\), \(B(0 ; 3)\) et \(C(1 ; 5)\) (en remplaçant \(x\) dans l'équation de \(d\)).
2. Interprétation graphique
La droite \(d'\) a le même coefficient directeur que \(d\) (\(m=2\)), elle lui est donc parallèle. Graphiquement, pour qu'il n'y ait qu'un seul point d'intersection, la droite doit être suffisamment haute ou basse. Par exemple, pour \(a=15\), la droite ne coupe la courbe qu'une seule fois dans la partie supérieure.
3. Étude de la dérivée
On dérive \(f(x)\) : \(f'(x) = 2(3x^2) + 2(2x) - 2 = 6x^2 + 4x - 2\).
Développons \(6(x+1)(x-\frac{1}{3})\) : \(6(x^2 - \frac{1}{3}x + x - \frac{1}{3}) = 6(x^2 + \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}) = 6x^2 + 4x - 2\). La forme factorisée est vérifiée.
Le signe de \(f'(x)\) dépend du trinôme. Les racines sont \(-1\) et \(\frac{1}{3}\). Le coefficient de \(x^2\) étant positif (6), la dérivée est positive à l'extérieur des racines. Ainsi, \(f\) est croissante sur \([-2 ; -1]\), décroissante sur \([-1 ; \frac{1}{3}]\) et croissante sur \([\frac{1}{3} ; 2]\).