Analyse de l'énoncé

Cet exercice de niveau Première Spécialité est complet car il mobilise deux compétences majeures : l'interprétation graphique des propriétés d'une courbe (tangentes, nombre dérivé) et l'étude analytique d'une fonction composée avec l'exponentielle. L'énoncé nous donne des informations cruciales sur le comportement de la fonction \(f\) via des points clés (\(A, B, C\)) et des tangentes spécifiques (horizontale en \(x=1\) et passant par deux points connus en \(x=0\)).

Points de vigilance et notions de cours

• Nombre dérivé et pente : Rappelez-vous que \(f'(a)\) est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse \(a\). Une tangente horizontale implique \(f'(a) = 0\).
• Équation de tangente : La formule \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\) doit être connue par cœur.
• Dérivation d'un produit : La fonction \(f(x) = (2-x)e^x\) est de la forme \(u \times v\). On applique \((uv)' = u'v + uv'\).
• Signe de l'exponentielle : Pour tout réel \(x\), \(e^x > 0\). Le signe de \(f'(x)\) ne dépendra donc que du facteur polynomial.

Correction détaillée

1. Valeur de \(f'(1)\) : L'énoncé indique que la tangente au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses. Une telle droite a un coefficient directeur nul, donc \(f'(1) = 0\).

2. Équation de la tangente en A : Le point A a pour coordonnées \((0 ; 2)\). La tangente en A est la droite \((AC)\) avec \(C(-2 ; 0)\). Calculons son coefficient directeur : \(m = (y_A - y_C) / (x_A - x_C) = (2 - 0) / (0 - (-2)) = 2/2 = 1\). L'ordonnée à l'origine est \(y_A = 2\). L'équation est donc \(y = x + 2\).

3. Calcul de la dérivée : Soit \(f(x) = (2-x)e^x\). On pose \(u(x) = 2-x\) d'où \(u'(x) = -1\), et \(v(x) = e^x\) d'où \(v'(x) = e^x\).
$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = -1 \cdot e^x + (2-x)e^x = e^x(-1 + 2 - x) = (-x + 1)e^x$.

4. Variations : Puisque \(e^x > 0\), \(f'(x)\) est du signe de \(-x+1\).
\(-x+1 > 0 \iff x < 1\).
Sur \([-10 ; 1]\), \(f'(x) \geq 0\), donc \(f\) est croissante. Sur \([1 ; 2]\), \(f'(x) \leq 0\), donc \(f\) est décroissante.

5. Tangente en B(2 ; 0) : On calcule \(f'(2) = (-2+1)e^2 = -e^2\). L'équation est \(y = f'(2)(x-2) + f(2) = -e^2(x-2) + 0\). Soit \(y = -e^2x + 2e^2\).