Analyse de l'énoncé
Cet exercice porte sur l'étude d'une fonction polynôme du troisième degré, notion centrale du programme de mathématiques de Première Spécialité. L'objectif est de lier le calcul algébrique (dérivation, résolution d'équations du second degré) à l'interprétation graphique et aux variations de la fonction.
Points de vigilance et notions requises
- Règles de dérivation : Savoir dériver $x^n$. Ici, la dérivée d'un polynôme de degré 3 donne un polynôme de degré 2.
- Lien entre $h$ et $h'$ : Comprendre que la courbe de la dérivée est une parabole si la fonction initiale est de degré 3.
- Équation de la tangente : Appliquer la formule $y = h'(a)(x - a) + h(a)$.
- Signe de la dérivée : Utiliser le discriminant $\Delta$ pour étudier le signe d'un trinôme du second degré.
Correction Détaillée
1. Calcul de la dérivée :
En appliquant les formules de dérivation usuelles sur $[0~;~26]$ :
$h'(x) = -3x^2 + 30(2x) - 108 = -3x^2 + 60x - 108$.
2. Identification graphique :
a) $\mathcal{C}$ correspond à la courbe $\mathcal{C}_2$ (allure d'une fonction cubique). $\mathcal{C}'$ correspond à la courbe $\mathcal{C}_1$.
b) Justification : $h'$ est une fonction du second degré dont le coefficient dominant est $-3 < 0$. Sa représentation graphique est donc une parabole orientée vers le bas. De plus, $h'(0) = -108$, ce qui correspond à l'ordonnée à l'origine de $\mathcal{C}_1$.
3. Équation de la tangente en $x=0$ :
On a $h(0) = -490$ et $h'(0) = -108$.
L'équation est $y = h'(0)(x - 0) + h(0)$, soit $y = -108x - 490$.
4. Signe de $h'(x)$ et variations :
Cherchons les racines de $-3x^2 + 60x - 108 = 0$.
$\Delta = 60^2 - 4(-3)(-108) = 3600 - 1296 = 2304$.
$\sqrt{\Delta} = 48$. Les racines sont $x_1 = \frac{-60+48}{-6} = 2$ et $x_2 = \frac{-60-48}{-6} = 18$.
Le trinôme est négatif (signe de $a$) à l'extérieur des racines. Sur $[0~;~26]$, $h'(x)$ est négative sur $[0~;~2]$, positive sur $[2~;~18]$, et négative sur $[18~;~26]$.
Par conséquent, $h$ est décroissante sur $[0~;~2]$, croissante sur $[2~;~18]$, puis décroissante sur $[18~;~26]$.