Analyse de l'énoncé

Cet exercice de niveau Première Spécialité Mathématiques porte sur l'étude d'une fonction modélisant une évolution biologique (population de pucerons). Il se divise en deux phases : une approche intuitive par lecture graphique et une validation rigoureuse par le calcul algébrique. L'enjeu est de maîtriser le lien entre le coefficient directeur d'une tangente et le nombre dérivé, ainsi que l'étude des variations via le signe de la dérivée.

Points de vigilance et notions requises

• Lecture graphique : Attention aux unités (milliers de pucerons). Ne pas confondre la valeur de la fonction $f(t)$ et son taux de variation $f'(t)$.
• Dérivation : Maîtriser les formules de dérivation des puissances ($x^n$).
• Second degré : Savoir étudier le signe d'un trinôme du second degré (calcul du discriminant $\Delta$).
• Contexte : Toujours interpréter les résultats mathématiques en fonction de la situation concrète (vitesse de prolifération, maximum).

Correction détaillée

Partie A :
1. À $t=0$, on lit l'ordonnée à l'origine : $f(0) = 2,1$ soit 2100 pucerons. Le maximum semble atteint pour $t \approx 6$ avec environ 5000 pucerons.
2. La vitesse à $t=0$ correspond au coefficient directeur de la tangente $T$ passant par $A(0 ; 2,1)$ et $B(2 ; 4,3)$. On calcule $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{4,3 - 2,1}{2 - 0} = 1,1$. Ainsi, $f'(0) = 1,1$.

Partie B :
1. On dérive $f(t) = 0,003t^3 - 0,12t^2 + 1,1t + 2,1$ terme à terme :
$f'(t) = 0,003 \times 3t^2 - 0,12 \times 2t + 1,1 = 0,009t^2 - 0,24t + 1,1$.
2. Pour le signe, on calcule $\Delta = (-0,24)^2 - 4 \times 0,009 \times 1,1 = 0,0576 - 0,0396 = 0,018$. Les racines sont $t_1 = \frac{0,24 - \sqrt{0,018}}{0,018} \approx 5,92$ et $t_2 = \frac{0,24 + \sqrt{0,018}}{0,018} \approx 20,75$. Sur $[0 ; 20]$, seule $t_1$ intervient. $f'(t)$ est positive sur $[0 ; t_1]$ et négative sur $[t_1 ; 20]$.
3. La fonction $f$ est croissante sur $[0 ; 5,92]$ puis décroissante sur $[5,92 ; 20]$. Les images sont $f(0)=2,1$, $f(5,92) \approx 5,02$ (le maximum) et $f(20) = 0,1$.