Analyse de l'épreuve d'automatismes

Cette épreuve d'automatismes pour la spécialité mathématiques de Première porte sur des notions fondamentales du cycle terminal. L'objectif est d'évaluer la rapidité et l'exactitude des calculs sans calculatrice. Les thèmes abordés ici couvrent le calcul littéral, les identités remarquables, la lecture graphique, les inéquations, les polynômes du second degré, les évolutions en pourcentage et les propriétés des puissances.

Points de vigilance et notions clés

• Identités remarquables : La reconnaissance de la forme $a^2 - b^2$ est cruciale pour la factorisation rapide.
• Signe des inéquations : Rappelez-vous que diviser ou multiplier par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.
• Évolutions successives : On ne somme jamais les pourcentages ; on multiplie les coefficients multiplicateurs entre eux ($CM_{global} = CM_1 \times CM_2$).
• Lectures graphiques : Soyez attentifs aux unités des axes et à la précision des points marqués par des croix sur la courbe.

Correction détaillée de l'exercice

Question 1 : On reconnaît $a^2 - b^2$ avec $a = 3x$ et $b = \frac{1}{3}$. La forme factorisée est $(3x - \frac{1}{3})(3x + \frac{1}{3})$. Réponse B.

Question 2 : Substitution : $E = \frac{3 - (-2)}{(-3) \times (-4)} = \frac{5}{12}$. Réponse C.

Question 3 : Par lecture graphique, $f(-4)$ se situe au-dessus de l'axe des abscisses (positif) et $f(-1)$ se situe au-dessous (négatif). Le quotient d'un nombre positif par un nombre négatif est négatif. Donc $A < 0$. Réponse B.

Question 4 : $-2x + 2 \geqslant 0 \Leftrightarrow -2x \geqslant -2 \Leftrightarrow x \leqslant \frac{-2}{-2} \Leftrightarrow x \leqslant 1$. L'ensemble des solutions est $]-\infty ; 1]$. Réponse A.

Question 5 : Le tableau de signes indique des racines en $-3$ et $2$, et une fonction positive à l'extérieur des racines. L'expression $(x-2)(x+3)$ correspond parfaitement car c'est un polynôme dont le coefficient dominant est $1 > 0$. Réponse C.

Question 6 : Une baisse de 50% correspond à $CM_1 = 0,5$. Une hausse de 40% correspond à $CM_2 = 1,4$. Le $CM_{global} = 0,5 \times 1,4 = 0,7$. Un coefficient de $0,7$ équivaut à une baisse de 30%. Réponse D.

Question 7 : S'il y a 40% d'hommes, il y a 60% de femmes. Soit $N$ le nombre total. $0,6N = 30 \Leftrightarrow N = 30 / 0,6 = 50$. Réponse D.

Question 8 : Vérifions la proposition D : $\frac{a^1 \times a^5}{a^2} = \frac{a^6}{a^2} = a^{6-2} = a^4$. C'est correct. Réponse D.