Calculer l'aire d'une figure composée

Comment calculer l'aire d'une figure complexe ou composée en 5ème ?

Bonjour, dans cette vidéo, tu vas apprendre à calculer l'air d'une figure. Alors, la figure et bien c'est \(ABCD\), le quadrilatère \(ABCD\). On peut d'ailleurs dire que ce quadrilatère est un trapèze. C'est juste pour information. Ça n'a pas vraiment d'utilité dans la résolution de de l'exercice, mais bon euh je voudrais calculer son air, c'est-à-dire déterminer la surface ici recouverte par ce quadrilatère. Comment faire ? Parce que comme ça, moi je ne connais pas de formules qui me permettent de calculer de façon directe l'air d'un tel quadrilatère. Alors, on connaît bien l'air d'un rectangle, on a une formule longueur fois largeur d'un parallélogramme, çaen est pas un. Euh je connais l'air de triangle et cetera, mais je ne connais pas l'air de de ce de ce quadrilatère. Alors, ce qu'on va faire et ce qu'il faut faire dans le cas où on se trouve euh de devant des figures dont on ne connaît pas de formule, bien c'est faire des découpages de façon à reconstituer bien notre quadrilatère en petits morceaux de figure connues.

Comment découper un quadrilatère pour calculer son aire ?

Et comment on pourrait faire un découpage ? bien très facilement un quadrilatère coupé en deux coupé sur la diagonale, ça nous donne deux triangles. Donc si par exemple je couper ici, j'obtiendrai un triangle ici et puis un autre petit triangle ici. Or je connais la formule une formule qui me permet de calculer l'air d'un triangle. c'est base fois hauteur divisé par \(2\). Donc ce qu'on va faire ici, c'est qu'on va calculer l'air du premier triangle, l'air du 2è triangle et ensuite on va additionner ces deux résultats pour trouver l'air de \(ABCD\). Alors commençons déjà par faire le partage.

Quelle est la formule de l'aire d'un triangle ?

Voilà qui est fait. Et je vais donc commencer par calculer l'air de la surface hurée en rouge, c'est-à-dire l'air du triangle \(ABD\).

Et ça je sais faire parce que là j'ai une formule que j'ai rappelé juste à l'instant. Base fois hauteur divisé par \(2\) ou base fois hauteur sur \(2\), c'est comme on veut. base, je mets un petit \(B\) multiplié par hauteur, je mets un petit \(H\) divisé par \(2\). Et bien là, il me suffit de remplacer base et hauteur dans la formule pour calculer l'air de mon triangle huré en rouge.

Comment savoir quelle base et quelle hauteur choisir dans un triangle ?

Alors, est-ce que j'ai une base et une hauteur qui se correspondent ? Alors, je rappelle que la base et la hauteur doivent être toutes les deux perpendiculaires. Il peut y avoir plusieurs hauteurs dans un triangle. Il faut bien choisir la bonne. Ici, il y a pas de problème parce que la base, elle est tournée dans le bon sens, elle est bien comme le sol et la hauteur ici est marquée bien perpendiculaire à la base correspondante. Et bien, la base fait \(4,5\).

La hauteur qui lui correspond fait \(2,5\) et je divise tout ça par \(2\). \(4,5\) la base \(2,5\) la hauteur, je divise par \(2\). Tu le fais bien sûr à la calculatrice. Tu trouves \(5,625\) exactement. Alors \(5,625\) quoi ? Et bien ici, j'ai multiplié une longueur en centimèt par une autre longueur en centimèt et bien je trouve des centimèt carré.

Comment trouver la hauteur d'un triangle à l'envers ou décalé ?

Alors pour calculer bien l'air du triangle vert, on va faire comme tout à l'heure, trouver une base, une hauteur qui lui correspond. À part qu'ici le triangle vert, on le voit, il est tourné dans le mauvais sens, il a la tête en bas. Pour bien comprendre, c'est un petit peu embêtant. Alors ce que je vais faire, je vais faire un tour complet de \(180^\circ\). Je vais donc me retirer de l'écran pour pas que tu me vois la tête en bas.

Voilà. Et on trouve là notre triangle vert. On peut dire dans le bon sens avec sa base en bas, donc le sol \(2\text{ cm}\). Quelle est donc la hauteur qui lui correspond ? Alors, on a l'habitude de voir la hauteur partant du sommet. C'est-à-dire que là, ça nous arrangerait bien que la hauteur parte de \(B\), mais elle est juste un tout petit peu décalée, un petit peu décalée à droite. Euh et on trouve quand même cette hauteur bleue de \(2,5\text{ cm}\) qui reste tout à fait perpendiculaire à la base. Et si on traçait la hauteur partant de \(B\) en retombant perpendiculairement sur la base, on trouverait également \(2,5\text{ cm}\). Il suffit juste de décaler ce petit bout de bâton de \(2,5\) et de le mettre en partant de \(B\) et on reconnaîtrait une hauteur classique. Donc on peut considérer que la base vaut \(2\) et que la hauteur vaut \(2,5\).

Comment additionner les aires pour trouver la surface totale d'une figure ?

Remettons tout à l'endroit.

Alors et bien effectuons les calculs. L'air de mon triangle \(BCD\) égal Alors le calcul je ne l'écris plus, je l'ai dit. Enfin la formule je ne l'écris plus, je l'ai dit. On peut directement passer au calcul la base \(2 * 2,5 /\) par \(2\). Ça donne quoi ? Bien \(2 \times 25 / 2\), ça revient à faire \(2,5\) tout court. La multiplication par \(2\), la division par \(2\) s'élimine \(2,5\text{ cm}^2\) comme précédemment. On a l'air de la surface verte, on avait l'air de la surface rouge. Et bien maintenant, pour obtenir l'air du tout, il suffit d'additionner ces deux résultats.

R du tout de notre quadrilatère \(ABCD\) est donc égal à l'air du triangle rouge \(ABD\) plus l'air du triangle vert \(BCD\). On remplace \(5\ 625\) pour l'un \(25\) pour l'autre et on trouve \(8,125\text{ cm}^2\) toujours, on est toujours en \(\text{cm}^2\). \(8,125\text{ cm}^2\), c'est l'air du tout. Donc pour en revenir à ce que je disais tout à l'heure, bah ça fait un peu plus de \(8\text{ cm}^2\). Donc c'est l'équivalent d'un peu plus de \(8\) petits carrés de \(1\text{ cm} / 1\text{ cm}\). Voilà. Et cette séquence est terminée.