Calculer l'aire d'une figure composée
Quelle est la différence entre le périmètre et l'aire d'une figure ?
Bonjour, dans cette vidéo, tu vas apprendre à calculer l'air d'une figure. Alors, cette vidéo fait suite à une autre vidéo où on avait été amené à calculer le périmètre de la même figure. Si tu veux voir cette vidéo, il te suffit de cliquer sur le lien ici à droite. D'ailleurs, qu'est-ce que c'est que le périmètre d'une figure et en quoi le calcul de l'air est-il différent ? Alors pour cela, je rappelle très brièvement que ce qu'on avait dit dans la première vidéo, c'était que le périmètre de la figure c'est la longueur du tour de la figure. C'est-à-dire, on avait fait \(9 + 5\) et cetera. Alors que l'air là, il s'agit maintenant de mesurer la surface occupée par la figure. Toute cette zone là, ce n'est pas du tout la même chose. Là, on est dans un calcul à deux dimensions.
Comment calculer l'aire d'une figure complexe sans formule ?
Et pour effectuer des calculs d'air, et bien la plupart du temps, on est amené à utiliser des formules, des formules qu'on connaît sur les figures usuelles. Alors, est-ce que cette figure justement c'est une figure usuelle, c'est-à-dire une figure classique du type carré, rectangle, triangle, triangle, rectangle et cetera ? Alors, cette figure ça s'appelle pentagone. C'est donc un polygone qui a cinq côtés. Et moi personnellement, je ne connais pas de formule qui me donne directement l'air de ce pentagone. Alors, ça peut certainement exister, mais en tout cas, c'est pas une figure usuelle. C'est pas une figure avec laquelle on a bes l'habitude de travailler. Alors, comment on fait ? Et bien, ce qu'on va faire, c'est qu'on va faire des petits découpages dans cette figure de façon à reconstituer des morceaux de figures connues.
Et ce petit découpage, et bien alors il y a plusieurs solutions pour le faire, hein. On pourrait euh par exemple envisager bien de faire ici un premier découpage. De cette façon-là, j'aurai un rectangle. Euh, puis là encore un deuxème découpage. De cette façon-là, j'auraiis un rectangle. Et puis là, il va me rester ici un petit triangle rectangle. Ça marcherait bien. Comme ça, on calculerait l'air de nos deux rectangles, l'air du triangle rectangle et on additionne tout ça. Bon, ça c'est une solution mais tu vois que je pourrais aussi faire le découpage de cette façon-là avec ici un grand rectangle. Bon, donc il y a plusieurs solutions, mais il y en a toujours certaines qui sont meilleures que d'autres. Bon, tu es habitué. Alors, on va quand même pas s'embêter, on va utiliser la meilleure. Et la meilleure consiste à voir le truc à l'inverse, c'est-à-dire plutôt que de découper en morceau et de reconstituer, on va voir ça de façon plus large et on va enlever un petit morceau. Peut-être que tu vois venir le truc.
Quelle est la formule pour calculer l'aire d'un carré ?
Et bien quand je regarde la figure globalement ici, celle-ci c'est en fait un carré. Donc je parle de la figure qui inclut le petit morceau qui manque. On va le représenter. Voilà. Là, je pense que tu vois mieux qu'il s'agit d'un carré. Alors, on voit bien ici, on a les trois angles droits. Donc, si on en a trois, on a le 4e. Euh AB à la même longueur que AE, vu que on a trois angles droits, donc le 4è, c'est même un rectangle. Les côtés opposés sont égaux. Ces côtés opposés sont égaux. Finalement, tous les côtés sont égaux. Tous les angles sont droits. Il s'agit bien ici d'un carré. Et la formule pour calculer l'air d'un carré, elle est facile euh et elle est assez efficace. C'est côté fois côté ou côté au carré justement.
Donc si on veut calculer l'air de ce grand carré là, ça ira vite. Qu'est-ce que c'est que notre ABC de E ? Et bien, c'est simplement le grand carré moins le petit triangle qui est ici. Donc si j'enlève le petit triangle qui est ici au grand carré, j'aurai l'air de ma surface ABC D. Et bien c'est ce qu'on va faire. Alors je précise pas plus pour le petit triangle, on le verra dans la suite de la vidéo. Commençons déjà par calculer l'air du grand carré AB. Alors, ce qu'on pourrait faire, c'est donner un nom à ce grand carré et euh on va par exemple rajouter le sommet F. De cette façon-là et bien on va commencer par calculer l'air du grand carré AB FE. Alors, R de A B F E.
On rappelle la formule et bien l'air d'un carré c'est côté fois côté ou côté au carré. Donc appliquons cette formule côté au carré. Ici le côté vaut combien ? Et bien c'est marqué là, il vaut \(9\). C'est marqué là également c'est-à-dire \(9\) au carré. Et bien \(9\) au carré c'est \(9 \times 9 \times 9\) \(81\). \(81\). Alors \(81\) quoi ? On va mettre une unité là derrière. Et bien quand je multiplie des centimètres avec des centimètres, c'est bien ce que j'ai fait ici, \(9 \times 9\) des centimètres par des centimètres, deux dimensions. Je l'ai dit tout à l'heure, il s'agit d'une surface, j'obtiens des centimètres carrés. Et bien l'air du grand carré, c'est \(81\text{ cm}^2\).
Comment calculer l'aire d'un triangle rectangle en 5ème ?
Calculons maintenant et bien l'air du petit triangle ici que je vais assurer. Petit triangle euh qu'on va pouvoir ensuite enlever au grand carré. Alors déjà, quelle est la nature de ce petit triangle ? Bien, si le tout est un carré, forcément ce triangle est rectangle. J'ai un angle droit en F. Voilà qui est codé. Alors bien maintenant, je voudrais donc calculer l'air de ce triangle rectangle. Je connais une formule qui me permet de calculer l'air d'un triangle rectangle, c'est la suivante. Base fois hauteur le tout divisé par 2. Base fois hauteur divisé par 2 ou sur 2, c'est comme on veut. Euh et bien appliquons cette formule. R de mon triangle rectangle qui porte un nom, il s'appelle DFC puisque je me suis arrangé pour pouvoir les nommer est égal à base multiplié par hauteur divisé par 2 égal.
Alors reste à savoir combien vaut la base que j'ai appelé petit B et combien vaut la hauteur que j'ai appelé petit H. Alors pour ça, il faudrait que j'arrive à récupérer des dimensions sur mon triangle rectangle parce que pour l'instant je n'en ai aucune. Bah c'est facile. Regarde bien ici tu as \(9\text{ cm}\). Là tu as \(6\text{ cm}\). Donc ici combien faut rajouter à \(6\) pour trouver \(9\) ? Bien \(3\) parce que \(3 + 6\) ça fait bien \(9\). OK. Ici ici j'ai \(9\text{ cm}\). Là, j'ai \(5\text{ cm}\). Donc ici, combien je dois rajouter à à \(5\) pour trouver \(9\) ? Bien, c'est facile, c'est \(4\). De cette façonlà, j'ai \(4 + 5\) qui me fait bien \(9\). J'ai donc récupéré les deux dimensions de mon triangle rectangle.
Et bien maintenant, je peux faire les calculs. Je vais par exemple considérer que ça c'est la base. Donc alors je peux l'écrire ici. \(3\) multiplier par ceci la hauteur c'est-à-dire \(4\). Et je vais diviser le tout par 2. Base x hauteur divisé par 2 \(3 \times 4 / 2\). J'obtiens ainsi l'air de la surfacechurée en rouge. \(3 \times 4\) \(12\), la moitié de \(12\) \(6\). L'unité reste bien évidemment la même carr on est toujours en centimèt \(3\) et \(4\) ce sont des centimètres. Je les ai pas écrit évidemment pour des raisons de place. Parfait.
Comment calculer l'aire totale d'une figure par soustraction ?
Et bien, j'ai l'air du grand, j'ai l'air du tout petit. Et bien l'air de ABC de E, c'est-à-dire l'air cherché, est égal à l'air du tout grand, c'est-à-dire l'air du carré qui s'appelait ABFE moins l'air du petit à droite du petit triangle rectangle qui s'appelait DFC. Et si j'effectue tout ça, et bien je vais obtenir les rechercher. Soit bien \(81\) moin \(6\) et \(81 - 6\) ça me donne \(75\) bien évidemment \(\text{cm}^2\) comme pour les précédents. On peut conclure l'air de AB CD E est égale à \(75\text{ cm}^2\). Voilà qui est noté et cette séquence est terminée.
