Simplifier une expression (2)

Comment simplifier l'écriture d'une multiplication d'un nombre par lui-même ?

Bonjour, dans cette vidéo, tu vas apprendre à simplifier des écritures qui contiennent des lettres. Alors, cette vidéo fait suite à une autre vidéo que tu pourras visionner en cliquant sur le lien ici à droite. Je t'invite à le faire si tu ne l'as pas fait puisque on va travailler plus précisément toutes les notations qui tournent autour des carrés et des cubes. On va voir ce que cela signifie tout de suite. Euh on va donc commencer avec deux exemples, deux exemples numériques et je vais donner les formules dans un premier temps également sous forme numérique et ensuite on les généralisera.

On voudrait écrire \(5 \times 5\) plus simplement. Alors, évidemment \(5 \times 5\), ça fait \(25\), mais je voudrais l'écrire sans le calculer. Et bien pour ça, on dispose d'une formule qui te dit que par exemple \(3 \times 3\) et bien on peut l'écrire \(3\) avec un petit \(2\) en l'air. Le petit \(2\) en l'air, on dit qu'il est en exposant. Donc \(3\) avec un petit \(2\) en l'air, ça se lit \(3\) au carré. \(3\) au carré. Adoptons cette notation pour \(5 \times 5\). Bien \(5 \times 5\), dans ce cas-là, je peux l'écrire. \(5\) avec un petit \(2\) en exposant et je lis cette écriture \(5\) au carré. Alors attention, \(5\) avec un petit \(2\) en l'air, ça ne veut surtout pas dire \(5 \times 2\) mais ça veut dire que le nombre qui est ici, je le multiplie deux fois par lui-même. C'est-à-dire, je vais faire ici \(5 \times 5\).

Quelle est la différence entre un nombre au carré et un nombre au cube ?

\(7 \times 7 \times 7\). Est-ce qu'il existe également une notation beaucoup plus simple qui permette de noter trois fois un nombre comme ça que j'ai multiplié par lui-même ? Et bien, on le voit sur un autre exemple. \(5 \times 5 \times 5\), on peut l'écrire \(5\) avec un petit \(3\) en exposant. Et ce nombre là se lit \(5\) au cube. Appliquons ceci pour notre \(7 \times 7 \times 7\). Et bien, je vais le noter. \(7\) au cube.

Comment simplifier une expression mathématique avec des x au carré et au cube ?

Passons au cas généraux. \(A \times A\). Et bien si j'ai du \(X \ x\) par exemple, je peux le noter \(x\) au carré \(X\) en avec un petit \(2\) en exposant. Pour notre \(a\), cela donnera donc \(a\) au carré qui signifie bien le nombre \(a\) multiplié par lui-même et non pas \(a \times 2\). Je le répète, \(b \times b \times b\). Bien, si j'ai du \(x \ x \ x \ x\), je peux l'écrire \(x^3\). Et bien \(b \times b \times b\), je peux l'écrire \(b\) au cube.

Comment enlever le signe multiplié dans une expression littérale en 5ème ?

Passons maintenant euh à la série suivante où on va combiner ce qu'on a vu à la fois dans la première vidéo et ce qu'on vient de voir donc avec nos carrés et nos cubes. Cette fois-ci, j'ai \(3 \times a \times a\). Alors, on va déjà adopter bien dans un premier temps ce qu'on vient de voir. \(A \times a\), on a dit que c'est \(a\) au carré. Donc ici, j'ai \(a\) au carré. J'ai \(3\) fois ce que je viens d'écrire. J'ai simplement remplacé \(a \times a\) par \(a\) au carr et rajouter trois fois. Mais on avait dit dans la première vidéo que lorsque l'exercice est fini, il ne doit plus rester un seul symbole fois dans l'écriture. Là, il en reste un. Et bien, j'adopte ce que j'ai vu dans la première vidéo qui dit que \(3\) fois quelque chose, ça peut tout de suite s'écrire \(3\) quelque chose. C'est-à-dire que le symbole fois et bien je vais purement et simplement m'en débarrasser. Et bien \(x \ a \times a\) s'écrit \(3a\) au carr suivant.

Peut-on changer l'ordre des lettres dans une multiplication mathématique ?

\(A \times b \times a\). Alors si j'adopte ce que j'ai vu dans la première vidéo, bien j'aurai \(A B Aas\). Bon, c'est pas mal mais c'est pas parfait. Tout simplement parce que ici j'ai la lettre \(A\) et là j'ai la lettre \(A\) et je pourrais les réduire encore. Je rappelle que dans une multiplication, la place des facteurs n'a pas d'importance. Ce qui veut dire que au lieu d'avoir \(A \times B \times A\), je pourrais très bien avoir \(B \times A \times A\). J'échange la position des deux premiers par exemple. Et si j'adopte ce que je viens de voir juste au-dessus, et bien mon \(a \times a\) peut s'écrire \(a\) au carré et mon \(b \times a\) au car peut s'écrire \(b \ a\) carré. J'enlève le symbole fois. Et bien \(a \times b \times a\) s'écrira \(ba \ a\) au car. On aurait le droit d'écrire dans l'autre sens si on le souhaitait. On pourrait également écrire \(a\) au car \(b\). C'est tout à fait juste.

Quelle est la priorité entre l'addition et la multiplication dans une expression algébrique ?

Passons au suivant. \(A \times a + a \times b\). Et bien je vois ici du \(A\), du \(A\) et du \(A\). Je pourrais l'écrire \(A^3\). Non, surtout pas. C'est pas \(a \times A \times A\), c'est \(A \times A + A \times B\). Par ailleurs, ceci est prioritaire, donc le plus viendra après. Ceci est prioritaire, le plus viendra également après. Je suis d'abord obligé d'effectuer ces deux produits là avant d'additionner. Donc, on ne touchera pas au signe plus, je peux déjà le recopier. On va simplement réduire ce terme là puis ce terme là. Alors, commençons par celui-ci. \(A \times A\). Bon, on l'a rencontré plein de fois, c'est \(A^2\). \(A \times B\). Bien celui-ci on l'a vu dans la première vidéo, ça s'écrit \(AB\). Et bien \(A \times A + A \times B\) ne pourra pas s'écrire plus simplement que \(A^2 + AB\). Ça c'est la forme réduite au maximum.

Comment réduire une expression algébrique avec une soustraction et un carré ?

Passons au deux derniers. Tout petit peu plus compliqué mais pas trop, ça ira. \(4 \times 4 - x\). Alors pour \(4 \times 4\), il y a deux possibilités. Soit je l'effectue \(4 \times 4\), ça fait \(16\), soit je l'écris avec son carré. Alors vu qu'on est dans la vidéo sur les carrés et les cubes, on va l'écrire évidemment sous son écriture avec un carré \(4\) au carré moin \(x \ x\) et bien \(x \ x\)'écrit \(x^2\). \(4\) au car - \(x^2\) c'est la forme simplifiée. Je n'ai plus de fois. Je pourrais pas faire mieux. Autrement éventuellement comme j'ai dit avant de faire \(4\) au carré qui vaut \(16\) mais je ne pourrais pas faire mieux. Ceci est prioritaire. Ceci est prioritaire.

Pourquoi x² + x n'est pas égal à x³ en mathématiques ?

Enfin la dernière \(5*\) par \(x \ x + x\). Alors attention pour les mêmes raisons que ici \(x \ x \ x + x\) n'est pas égal à \(x^3\). Je peux réduire \(x \ x\) mais je ne peux pas l'associer au suivant pour la raison que ceci est de nouveau prioritaire. Donc commençons par réduire ce \(x\) qui on le sait donne \(x^2\) derrière suit \(+ x\). Je mets les parenthèses. Voilà pour l'instant j'ai réduit cette partie là \(x \ x^2 + x\). Et je ne pourrais pas faire mieux que \(x^2 + x\). Même si j'ai du \(x\) ici et du \(x\) ici. Euh ceci doit être effectué avant. C'est prioritaire. C'est une multiplication de la multiplication de \(x\) par \(x\). Donc on s'arrête là pour l'expression entre parenthèses. Devant j'ai \(5\) fois une expression entre parenthèses. Et dans la vidéo précédente là, on avait vu que on pouvait se débarrasser du multiplié, du symbole multiplié quand il était devant une parenthèse. Je peux écrire \(5\) et directement la parenthèse. Et ceci lit \(5\) facteur de \(x\) au car \(+ x\). Et cette séquence est terminée.