Reconnaître graphiquement la proportionnalité

Comment construire un graphique à partir d'un tableau de valeurs en 5ème ?

[musique] Bonjour. Dans cette vidéo, tu vas pouvoir apprendre à reconnaître une situation de proportionnalité à l'aide d'un graphique. On nous donne un tableau qui présente le prix à payer en fonction du nombre de billets de concert achetés. On voudrait dans un premier temps placer toutes les données de ce tableau point par point dans le graphique pour pouvoir ensuite interpréter le graphique et même l'utiliser. Alors, allons-y. C'est pas bien difficile. Le graphique, le repère nous est donné. Donc, le graphique sera simple à construire. On nous donne ici en abscisse le nombre de billets normal puisque on donne le prix en fonction du nombre de billets. Donc, le nombre de billets se lira obligatoirement sur l'axe horizontal. et on nous donne donc en ordonnée le prix en euro correspondant.

Alors c'est parti, on va construire point par point notre graphique en utilisant les valeurs du tableau. On commence par la première colonne. Donc la première colonne où il y a des nombres. On nous dit que deux billets coûtent \( 40 \) €. Ce qui signifie que sur l'axe des abscisses, je vais chercher la valeur \( 2 \) et je vais faire correspondre la valeur \( 40 \). Alors ici, on a une graduation principale qui avance de \( 50 \) en \( 50 \) et on a une sous-graduation. Vu qu'il y a \( 5 \) petit carreaux pour \( 50 \), ça veut dire qu'on va avancer de \( 10 \). Donc nous, on voudrait aller à \( 40 \). Donc on lit \( 40 \) sur l'axe des ordonnées. Et à l'intersection des deux, on trouve le premier point qui correspond donc à la valeur de deux billets au prix de \( 40 \) €.

Et on va faire la même chose avec la colonne suivante où cette fois-ci on a la correspondance \( 4 \) billets pour \( 80 \) €. Donc on va faire de même. On va chercher la valeur \( 4 \) sur l'axe des abscisses. On va monter jusqu'à \( 80 \) sur l'axe des ordonnées qui correspond au prix et à l'intersection des deux et bien on va y mettre un deuxè point. Je pense que tu as compris le principe. Je vais poursuivre ici donc globalement la correction en plaçant donc \( 5 \) \( 100 \) \( 7 \) \( 140 \) \( 10 \) \( 200 \) et \( 12 \) \( 240 \). Et je te laisse vérifier si de ton côté tu trouves la même chose si tu es en train de le faire en même temps que moi.

Comment reconnaître graphiquement une situation de proportionnalité en 5ème ?

Et ce qu'on va faire maintenant c'est relier tous ces points. Pourquoi ? Parce que si on les regarde, ils semblent aligner. Ce qui signifie qu'on va pouvoir en déduire quelque chose pour la deuxième question. Alors voilà et on obtient effectivement une droite, même mieux qu'une droite, on obtient une droite qui passe par l'origine.

Alors quelque part, ça paraît logique parce que cela signifie quoi ? Que notre droite passe par l'origine. Cela signifie que pour \( 0 \) biais achetés et bien je paye \( 0 \) €. \( 0 \) en abscisse, \( 0 \) en ordonnée. Je trouve bien ici une croix qui se trouve au niveau de l'origine de mon repère et j'ai bien ici l'ensemble des points donc qui sont alignés. avec l'origine. Et ça cela signifie justement qu'on a proportionnalité parce que lorsque on a une situation qui est représentée par des points alignés avec l'origine et bien il se trouve que cette situation est une situation de proportionnalité.

Voilà qui est noté. On a donc proportionnalité entre le prix et le nombre de billets et on se souviendra donc que pour reconnaître une situation de proportionnalité graphiquement, il faut avoir des points qui sont alignés et en plus que la droite qui passe par tous ces points passe également par l'origine du repère. Si ce n'est pas le cas, alors attention, ça ne suffit pas. Il n'y a pas proportionnalité. Il faut avoir les deux. Tous les points sont alignés et en plus passe la droite passe par l'origine du repère.

Comment calculer le prix à l'unité avec la proportionnalité ?

On poursuit avec la question suivante. On nous demande quel est le prix d'un billet. Alors, c'est une question assez facile. On peut utiliser les données du tableau. On connaît le prix de deux billets. Deux billets coûtent \( 40 \) €. Et bien, si je prends un biais qui est la moitié de \( 2 \), et bien je vais payer la moitié de \( 40 \) €. Et bien c'est tout. Un billet coûte \( 20 \) €.

Comment lire une valeur sur un graphique de proportionnalité ?

Alors maintenant, on voudrait lire graphiquement le prix de \( 9 \) billets. Oui, c'est une question intéressante parce que cette valeur n'est pas donnée dans le tableau. On a le prix de \( 7 \) billets un peu en dessous, le prix de \( 10 \) billets un peu au-dessus mais on n pas le prix de \( 9 \) billets. Et bien pour cela, il suffit juste de s'appuyer sur la droite qu'on a tracé tout à l'heure. Elle va nous servir. En effet, je vais lire donc sur l'axe des abscisses la valeur \( 9 \) puisque je voudrais \( 9 \) billets. Je vais remonter sur la droite puis ensuite regarder la valeur correspondante sur l'axe des ordonnées. Et là très facilement, je lis \( 180 \) c'est-à-dire \( 180 \) €. Le prix de \( 9 \) billets est de \( 180 \) €.

Comment utiliser un graphique pour trouver une quantité avec un budget donné ?

Je voudrais donc maintenant connaître le nombre maximum de billets que je peux acheter avec \( 150 \) €. On imagine que j'ai \( 150 \) €. Je ne peux pas dépasser la dépense de \( 150 \) € et je voudrais acheter avec cette somme le maximum de billets. Et bien regardons sur notre graphique. On va également le résoudre graphiquement. Je vais partir cette fois-ci de \( 150 \) sur l'axe des ordonnées puisque c'est la valeur que l'on connaît euh le prix de l'ensemble de mes achats. Je rejoins la droite comme tout à l'heure, sauf dans l'autre sens. Et je redescends pour chercher la valeur correspondante.

Et là et bien je me trouve entre deux. Je me trouve entre \( 7 \) billets et \( 8 \) billets. Alors, est-ce que c'est \( 7,5 \) billets ? Non, on peut pas acheter un demi-billet. Soit on achète un un billet, on achète un billet entier. Donc soit j'en a j'en achète sep, soit j'en achète H. Et bien la réponse est \( 7 \). Tout simplement parce que si je vais au-dessus \( 8 \), et bien ça va me coûter un peu plus que \( 150 \) €. Donc ça passe pas. Moi j'ai dit que je veux dépenser au maximum \( 150 \) €. Donc il faut regarder par défaut, c'est-à-dire regarder juste en dessous et juste en dessous. Donc c'est \( 7 \) billets.

Et là \( 7 \) billets, je peux même savoir combien ça va me coûter. Bien ça va me coûter \( 140 \) €. Donc vu que j'ai \( 150 \) ça passe, il me restera \( 10 \) €. Donc au maximum je peux acheter \( 7 \) billets. Voilà, au maximum on peut acheter \( 7 \) billets pour \( 140 \) €. J'ai précisé donc la valeur même si c'était pas demandé de toute façon c'était déjà donné dans le tableau. Cette séquence est terminée.