Utiliser les propriétés de la symétrie centrale (1)

Comment construire le symétrique d'un point avec un compas en 5ème ?

[Musique] bonjour dans cette vidéo tu vas pouvoir apprendre à appliquer les propriétés de la symétrie centrale alors plus exactement ici on va appliquer une propriété une seule pour l'exemple je ne vais pas te dire laquelle de cette façonlà l'exercice restera plus intéressant au moment où il faudra choisir quelle propriété mais en tous les cas ici donc on va appliquer une propriété l'énoncé nous dit que on a au départ un triangle \(OAB\) et on nous demande de construire deux symétriques \(A'\) et \(B'\) alors je propose déjà de commencer par construire le triangle \(OAB\) et ensuite de voir comment construire ces deux points symétriques allons-y pour le triangle voilà alors j'ai marqué le point \(O\) en rouge pourquoi bien tout simplement parce que on peut déjà le voir dans notre énoncé cela va être le centre de symétrie avec lequel on va travailler alors qu'est-ce qu'on nous dit on nous dit qu'il faut maintenant construire le point \(A'\) symétrique du point \(A\) par rapport à \(O\) ce qui signifie que notre point \(A'\) va se retrouver de l'autre côté de \(A\) par rapport à \(O\) alors on peut déjà prolonger à le point \(A'\) va donc se trouver certainement dans cette zone-là précisément il va se trouver à la même distance de \(O\) que le point \(A\) donc on va tout simplement utiliser le compas et reporter la longueur \(OA\) de l'autre côté et voilà et là j'ai mon point \(A'\) et on nous dit que le point \(B'\) est le symétrique de \(B\) par rapport à \(O\) on va donc commencer par tracer la demi droite d'origine \(B\) afin de retrouver le point \(B'\) de l'autre côté voilà et pour trouver précisément la position de \(B'\) il suffit de reporter la longueur \(OB\) de l'autre côté donc je prends de nouveau mon compas et je reporte la longueur \(OB\) de l'autre côté alors ça c'est quelque chose qui arrive parfois quand on avait pas prévu une représentation suffisante pour la demi-droite mais c'est pas grave il suffit de la prolonger encore un tout petit peu et on trouvera la position de \(B'\) voilà et le point \(B'\) se trouve donc à l'intersection de mon arc de cercle et de la de la demi-droite précédemment tracée

Comment prouver que deux droites sont parallèles avec la symétrie centrale ?

maintenant qu'est-ce qu'on nous dit on nous demande de prouver que les droites \(AB\) et \(A'B'\) sont parallèles alors pour ça \(AB\) on a déjà le segment \(AB\) donc on pourrait prolonger éventuellement le segment \(AB\) mais c'est pas nécessaire en tout cas la droite \(A'B'\) ni le segment sont tracés donc on va déjà tracer \(A'B'\) on a donc la droite \(A'B'\) on a ici la droite \(AB\) on constate effectivement mais ça reste une observation que \(AB\) et \(A'B'\) sont parallèles reste à le prouver et pour cela on va utiliser comme on l'a dit au début de cette vidéo une propriété sur la symétrie centrale alors on peut regarder toutes les propriétés sur la symétrie centrale mais en tout cas une chose est claire c'est que nous ici on nous parle de droite donc la propriété qui nous intéresse concerne évidemment les droites et la première nous dit justement que deux droites symétriques sont parallèles

Comment rédiger une démonstration sur les propriétés de la symétrie centrale en 5ème ?

mais alors si je veux prouver ici que \(A'B'\) et \(AB\) sont parallèles il suffirait de prouver que que \(A'B'\) et \(AB\) sont symétriques et ça c'est très facile pourquoi parce qu'on a construit notre droite \(A'B'\) de façon à ce qu'elle soit symétrique de \(AB\) puisque j'ai construit successivement le symétrique de \(A\) \(A'\) et le symétrique de \(B\) \(B'\) on va déjà le rappeler le point \(A'\) et le symétrique de \(A\) par rapport au centre \(O\) on peut le coder je rappelle qu'on a reporté la longueur \(OA\) de l'autre côté donc forcément cette longueur égale cette longueur on dit également que le centre de symétrie ha devient le milieu du segment \(AA'\) qu'en est-il pour \(B'\) et bien le point \(B'\) ici est le symétrique du point \(B\) par rapport au même point \(O\) on l'a codé ici on rappelle qu'on a reporté la longueur ici \(OB\) de l'autre côté \(OB'\) donc \(OB = OB'\) ou si on préfère \(O\) est le milieu de \(BB'\) ah partir de là je vais pouvoir en déduire que la droite verte est symétrique de la droite \(AB\) par rapport à \(O\) pourquoi parce que par deux points je ne peux construire qu'une et une seule droite or ici j'ai la droite \(AB\) définie par les points \(A\) et \(B\) je construis leur symétrique \(A'B'\) j'obtiens la droite \(A'B'\) la droite \(A'B'\) est symétrique de la droite \(AB\) par rapport toujours au point \(O\) et bien voilà j'ai donc prouvé maintenant que mes deux droites sont symétriques l'une de l'autre \(AB\) et \(A'B'\) sont symétrique de l'une de l'autre c'est dit et je peux appliquer ma propriété qui dit que deux droites symétriques sont parallèles et donc si \(A'B'\) et \(AB\) sont symétriques et que deux droites symétriques sont parallèles on peut en conclure que \(A'B'\) et \(AB\) sont parallèles et bien on a terminé notre preuve les deux droites \(A'B'\) et \(AB\) sont parallèle cette séquence est terminée