Utiliser les propriétés de conservation de la translation

Comment construire l'image d'une figure par translation en 4ème ?

[Musique] Bonjour, dans cette vidéo, tu vas pouvoir apprendre à appliquer les propriétés de conservation des translations. Alors, bien évidemment, on va pas appliquer toutes les propriétés de conservation, elles sont multiples, on va en appliquer quelques-unes. Bah, justement, on va voir lesquelles. Ici donc on nous donne un triangle \(ABC\) qui est rectangle en \(C\), on le voit et un point \(I\) qui se trouve être le milieu du segment \(AB\). Sachant ceci, on va construire les points \(A\) et \(B\) par translation.

Alors, on nous dit que on considère une translation qui envoie \(C/ I\). On pourrait déjà schématiser ceci à l'aide d'une flèche. Et on voit ainsi donc qu'on a cette transformation donc qui est une translation qui envoie \(C\) sur le point \(I\). Alors justement nous ce qu'on voudrait construire c'est deux autres images. En particulier l'image du point \(A\) par cette translation. Alors pour le faire on va pas détailler la construction parce que ça fait l'objet d'une autre vidéo. Il faut construire une droite parallèle à \(C\) passant par \(A\). et reporter la longueur \(C\) sur cette parallèle de façon à obtenir le point \(A\) prim.

En gros, ça signifie que la distance qui va aller de \(A\) à \(A\) prime' est égale à la distance qui va de \(C\) à \(I\). Voilà, c'est un peu comme si on prenait la flèche rouge ici qu'on l'attrapé, qu'on l'a déplacé mais sans la retourner. Donc elle gardera la même direction, le même sens et la même longueur. Et donc on prend cette flèche et on la fait glisser, on la pose ici. Ainsi, on obtient donc notre point \(A\) prime qui est donc l'image du point \(A\) par la translation qui envoie \(C\) en \(I\). On voit bien ici que le segment \(C\) est égal au segment \(AA\) en terme de longueur et qu'on a les droites \(CI\) et \(AA\) qui sont parallèles. On fait exactement la même chose pour construire le point \(B\). image du point \(B\) par la translation qui envoie \(C/ I\). Voilà donc le point \(B\) prime qui se trouve ici.

Comment démontrer que deux segments ont la même longueur avec une translation ?

Et dans la première question, on nous demande de prouver que les segments \(BC\) ici et \(B'\) ici sont de même longueur. Traçons le segment \(B'\). Voilà. Et la question est donc de prouver que ce segment est de la même longueur que celui-ci. Et bien pour se faire, on va utiliser une des propriétés de conservation. Ici bien évidemment, on va utiliser la propriété de conservation des longueurs qui nous dit que lorsque on a un segment qui est l'image d'un autre segment par une translation, bah ils ont forcément la même longueur.

Donc ce qu'il faudrait prouver, c'est que ce segment-l \(I\) et l'image du segment \(BC\) par notre translation qui envoie \(C/ I\). Et ça c'est assez facile à prouver. Pour cela et bien il suffit juste de prouver que \(B\) a pour image \(B\) prime que \(C\) a pour image \(I\) mais ça en fait c'est l'énoncé qui nous le dit. Et bien du coup si \(B\) a pour image \(B\) et \(C\) a pour image \(I\) \(BC\) a pour image \(B I\) qui est ici. Reste à l'écrire.

Par la translation qui envoie \(C\) sur \(I\). On a \(C\) à pour image \(I\). Bah forcément puisqu'elle envoie \(C\) sur \(I\). Donc forcément \(C\) a pour image \(I\), \(B\) a pour image \(B\), \(B\) pour image \(B\), ça c'est l'énoncé qui nous le dit. Donc le segment \(BC\) ici formé par ces deux points a pour image le segment \(B I\) formé par ces deux points. On vient donc là de prouver que \(BC\) a pour image \(B I\) et maintenant par conservation des longueurs, on peut donc en déduire que ces deux segments ont la même longueur. La translation conserve les longueurs. Donc et bien nos deux segments \(BC\) et \(B I\) ont même longueur, c'est-à-dire \(BC = B I\). Et bien c'est bien ce qu'il fallait prouver que les segments \(BC\) et \(B'IV\) même longueur.

Comment prouver que deux droites sont perpendiculaires avec une translation ?

Donc ceci est prouvé, on peut passer à la question 2 où on nous demande de démontrer que \(A\) prime \(I\) ici cette droite là est perpendiculaire à la droite \(B'I\). Alors, on va déjà tracer \(a\) prime \(I\). Voilà. Et la question est donc de savoir pourquoi ici j'ai effectivement un angle droit. Alors, le principe va être à peu près le même que tout à l'heure. Seulement, au lieu de prouver qu'on a des segments de même longueur, on va prouver qu'on a des angles de même mesure par conservation des mesures d'angle de la de la translation.

Alors, comment faire ? pas pour cela, il faudrait prouver que au départ, j'ai un angle donc de \(90^\circ\), c'està-dire j'ai un angle droit et que cet angle droit a pour image l'angle qui est construit ici. Alors, l'angle qui est construit ici, c'est l'angle \(A IB\) prim. Quel pourrait être l'angle au départ qui me renvoie vers \(A IB\) prim ? Bon, on le voit, ça crève les yeux. De toute façon, un angle droit, j'en ai qu'un seul sur la figure, c'est \(A B\). La question est donc maintenant de démontrer que l'angle \(ACB\) a pour image l'angle \(A IB'\) par notre translation.

Et pour cela et bien on va de nouveau faire point par point et envoyer point par point chacun des points qui fabriquent notre angle de départ pour arriver sur notre angle d'arrivée qui aura même mesure, c'est-à-dire les \(90^\circ\). Allez, on va rédiger ça. Alors, on va les prendre dans l'ordre. Et donc on va commencer par dire que par la translation qui envoie \(C/ I\), on a \(A\) qui a pour image \(A\) prime. Ça c'est également dit dans l'énom. Ensuite, on a \(C\) qui a pour image \(I\). On l'a déjà dit tout à l'heure, c'est ce qui définit notre translation. Et enfin, on a \(B\) qui a pour image \(B\) prime. Ça, on l'a vu tout à l'heure et c'est dit également dans l'énoncé. Donc finalement si \(A\) pour image \(A\), \(C\) pour image \(i\) et \(B\) a pour image \(B'\), l'angle \(ACB\) a pour image l'angle \(A' IB'\). Voilà qui est noté.

Et là, on va appliquer notre propriété de conservation des mesures d'angle qui nous dit que bien l'image d'un angle par une translation est un angle de même mesure. Donc, on peut dire que l'angle \(A IB'\) est égal à l'angle \(ACB\) par conservation. La translation conserve les mesures d'angle. Donc on a \(A' IB'\) l'angle égal \(A B\), c'est noté ici. Or \(ACB\) fait \(90^\circ\) puisque c'est un angle droit. Du coup, on a \(A IB\) prime qui est également égal à \(90^\circ\). Je peux donc effacer ici le point d'interrogation qui s'efface pas très bien d'ailleurs. Voilà. Euh puisque c'est maintenant prouvé, il reste plus qu'à écrire ça en terme de droite. Si l'angle \(A' IB'\) fait \(90^\circ\), bah forcément les droites \(A'I\) et \(IB'\) sont perpendiculaires. Voilà qui est noté.

Quelles sont les propriétés de conservation de la translation au collège ?

On en a donc fini pour notre exercice. Alors, je voulais juste encore préciser, j'avais dit tout à l'heure que les propriétés de conservation par les translation sont multiples. Il y en a tout plein. Alors oui, on a également la conservation de l'alignement. Si on a des points alignés au départ, ils sont alignés à l'arrivée. Leurs images donc sont également alignées.

On a conservation du parallélisme également et on a même la conservation des airs. C'est normal puisque quand on part d'un triangle et qu'on construit l'image de ce triangle par une translation, on va trouver un triangle qui lui est égal donc forcément avec même \(R\). Voilà, on en a terminé. Donc cette séquence est terminée. Ok.