S'entraîner : la quatrième proportionnelle

Comment calculer une quatrième proportionnelle en 4ème ?

[Musique] Bonjour, dans cette vidéo, tu vas pouvoir t'entraîner à calculer une 4è proportionnelle. Alors, si jamais cet exercice te pose des difficultés, à tout moment, tu pourras cliquer sur le lien SOS ici à droite qui te mènera vers une autre vidéo où te sera expliqué plus en détail le principe de la 4è proportionnelle. Ici, on va aller un tout petit peu plus vite. Alors, voilà notre problème. Voilà voilà notre exercice. On te dit donc que pour son anniversaire, Max veut préparer un cocktail. Euh, on a la recette du cocktail donc qui est dans un livre. par exemple \(35\) cll de jus d'orange seront nécessaires ou encore on le voit \(25\) cll de limonade. La question c'est quelles sont les quantités de chaque ingrédient dans le cas où Max souhaite préparer \(2\) L de ce cocktail ? Car ce cocktail, il n'est pas donné pour une quantité de \(2\) L au départ pour une autre quantité. Mais admettons qu'on souhaite en faire \(2\) L, et bien il faudrait adapter la recette de notre cocktail. Et bien je te laisse réfléchir à ce problème-là. Tu peux mettre la vidéo en pause et on le résout ensuite.

Comment remplir un tableau de proportionnalité à partir d'un énoncé ?

Correction. Voilà. Alors, j'ai recopié le tableau de l'énoncé. J'en ai fait un vrai tableau. Donc en précisant à chaque fois et bien les quantités nécessaires pour chaque ingrédient. Donc on retrouve par exemple pour le jeu le jus de pamplemousse \(15\) cll. Ça c'est la situation de la recette. Nous on voudrait modifier cette situation pour savoir quelles sont les quantités nécessaires pour max. Donc celles-ci vont figurer dans la colonne de droite. Et bien évidemment les proportions devront être respectées. Il s'agit d'un cocktail. Donc si on respecte pas les proportions, ça sera pas du tout la même recette. Donc si on veut respecter les proportions, il s'agit là bien d'un tableau de proportionnalité. On va tout doucement quitter le contexte de notre histoire pour arriver à un contexte purement mathématique. Dans un tableau de proportionnalité, et bien je peux le compléter à condition que j'ai ici une correspondance entre deux nombres. Alors, habituellement, les tableaux de proportionnalité sont donnés sous forme de ligne. Là, il est donné sous forme de colonne. Bon, c'est pas un problème, mais tu vas voir que la technique est strictement la même. D'ailleurs, si j'avais voulu, j'aurais pu présenter ce tableau sous forme de ligne. Mais le souci quand même, c'est que je n'ai pas le correspondance entre la correspondance entre deux nombres pour pouvoir ensuite faire travailler ma 4è proportionnelle. 4e proportionnel, on le rappelle, qui veut dire que et bien je cherche le 4e nombre en en connaissant trois autres. Trois autres dans un petit carré, un petit carré donc comme ceci où j'aurai ici trois nombres, je sais pas, \(1\) \(2\) et \(5\) et je chercherai le 4e. C'est bien ça le principe de la 4e proportionnelle qui va ensuite pouvoir se calculer à l'aide du produit en croix. Donc là, je ne l'ai pas. Alors, je ne l'ai pas mais je l'ai presque car j'ai en réalité une correspondance sur la ligne totale. Je sais que Max voudrait \(2\) L de cocktail. Et cette recette et bien je n'ai pas le total mais je pourrais très bien le faire le total. Il suffit d'additionner toutes les quantités et à partir de là, j'aurai une correspondance ici entre deux nombres qui vont me permettre de pouvoir faire mes produits en croix.

Comment calculer le total dans un tableau de proportionnalité ?

Alors, complétons ce tableau avec une ligne totale. Voilà. Et on va donc commencer, comme on l'a dit, par faire le total de des ingrédients donnés dans la recette. Alors, c'est parti. \(35\) et \(15\), ça fait \(50\). Je rajoute \(25\), j'arrive à \(75 + 5\) encore, ce qui me donne \(80\). Le total pour le cocktail de max. Bien, ça c'est dit dans l'énoncé, c'est \(2\) L. Mais attention, prudence \(2\) L ici, je serai donc en litre. Alors que ici toutes les données sont en quoi ? On le voit dans l'énoncé, elles sont dans citr. Il est quand même prudent de garder la même unité. Alors, ça changerait pas grand-chose ici, mais dans des calculs, quand même, dans un problème, il est mieux de garder la même unité dans toute la résolution du problème. Donc ce qu'on va faire, vu que tout ça est déjà noté en cenilitre, et bien on va écrire notre \(2\) L en cenil. Et bien ça s'écrit comme ça. \(2\) L, \(20\) dl \(200\) CLL. Le cocktail de max doit faire \(200\) cl. Et voilà, j'ai là un tableau de proportionnalité que je peux compléter.

Quelle est la formule du produit en croix pour trouver la 4ème proportionnelle ?

Bien, par exemple ici, le petit carré que j'ai montré tout à l'heure où j'ai trois nombres connus et je cherche le 4e, on peut le trouver ici. Voilà, une 4è proportionnelle. Si je veux calculer la quantité de sirop de grenade dans la situation de Max, et bien il me suffit de travailler avec ces trois noms pour trouver le 4e. Et comment ça marche au fait ? Alors, on va le rappeler ici sur ce petit triplé comment ça marche. Il y a un petit truc assez simple à retenir. Quand je connais trois nombres ici et que je cherche le 4è, et bien je commence par multiplier sur la diagonale de mon carré. Diagonale. Multiplier, c'est le même symbole, c'est le hasard mais bon, c'est comme ça. Je vais donc multiplier ici sur la diagonale. Bah alors, si je multiplie sur la diagonale, bah la seule diagonale, celle-là, je la connais pas. Donc la seule diagonale que je connais, c'est celle-là. Donc là ici je vais multiplier. Je vais donc faire je le détaille pour le premier \(200\) par \(5\). Et ensuite mon \(80\). Qu'est-ce que j'en fais de mon \(80\) ? Et bien mon \(80\) je vais le diviser. On va diviser par \(80\). Alors je vais mettre une petite flèche ici mettre le petit symbole divisé. Et quand tu regardes, bien par chance, le symbole divisé, c'est deux points comme ça, l'un en dessous de l'autre qui fait penser à deux nombres l'un en dessous de l'autre comme une colonne. C'est assez facile à retenir. Je multiplie sur la diagonale, je divise sur la colonne et ça marche dans tous les sens. Je multiplie sur la diagonale, je divise sur la colonne. Je multiplie sur la diagonale, je divise sur la colonne. On pourra toujours le faire à partir du moment où on connaît trois nombres et qu'on cherche le 4e. Donc ici, bien qu'est-ce que je vais faire ? Tu vas encore diviser par \(80\).

Bon là, on n'est pas là pour faire du calcul mental. Tu prends ta calculatrice, tu effectues tout ça et tu vas voir que tu vas trouver \(12,5\). \(12,5\) et bien c'est la valeur ici de la quantité de sirop de grenade nécessaire dans le cas de la situation de Max. Il va devoir mettre \(12,5\) cl de sirop de grenade s'il désire obtenir un cocktail de \(2\) L ou de \(200\) cl. Voilà. Alors, si jamais tu avais un peu coincé au début, ce que je te propose, c'est de remettre la vidéo en pause, euh d'essayer de continuer à faire les calculs pour les trois autres ingrédients et ensuite tu remets en play pour voir la correction.

Comment appliquer le produit en croix pour compléter un tableau ?

Correction. Et bien, on poursuit. Et maintenant, bon, on va continuer la remonter et on va calculer la quantité nécessaire pour la limonade. Alors, comment faire ? Et bien de la même manière, je cherche un petit carré où j'en connais trois et je cherche le 4è. J'ai ce petit carré ici là et donc je cherche le 4è qui est ici. Alors je vais encore le détailler une deuxième fois, après je le détaillerai plus. Donc je cherche le 4e. Connaissant ces trois autres. Je commence par multiplier sur la diagonale. La diagonale ici qui me dit fait \(12,5\) m* par \(25\). \(12,5\) m* par \(25\). Ah, j'ai un peu effacé mon \(5\). Et ensuite, je divise sur la colonne, je divise par \(5\). Bien, si tu fais \(12,5\) m par \(25 / 5\), tu vas trouver la quantité nécessaire de limonade. Je pense que tu as trouvé \(62,5\). Ceci bien sûr à la calculatrice. Donc ici, je peux mettre \(62,5\) cl.

Alors, on poursuit et puis là, bon, comme dit, on va aller un peu plus vite sans détailler maintenant. On donc continue notre montée avec et bien par exemple ici ce petit carré où je connais toujours trois nombres et je cherche le 4e. Et bien, on y va. On va faire donc notre petite croix ici en effectuant \(62,5\) m* \(15\) et ensuite divisé par \(25\). Si tu effectues ça, tu trouves \(37,5\) \(37,5\) cl. Pour le dernier, toujours pareil, une petite croix ici, c'est en fait une conséquence du produit en croix, hein. Par exemple, dans ce carré là, si tu fais \(15 \times 62,5\), tu verras que c'est pareil que \(37,5 \times 25\). Donc euh je poursuis donc sur ce petit carré là, toujours produit sur la diagonale, tu fais \(37,5 \times 35\), tu divises par \(15\) et tu trouves \(87,5\).

Et bien voilà, on a là ici euh toutes nos quantités pour nos ingrédients dans la situation de max. Donc pour obtenir \(200\) cl ou \(2\) L. Euh d'ailleurs, si tu veux t'en convaincre, tu peux effectuer la somme de ces quatre nombres ici, de ces quatre quantités. Tu verras que tu tomberas exactement sur \(200\) cl, c'est-à-dire sur \(2\) L. Et bien le la répartition est finie, les calculs sont effectués. Et bien, tu peux fabriquer ton cocktail maintenant si tu le souhaites. Et cette séquence est terminée.