S'entraîner : calculer un angle ou une longueur

Comment choisir le bon triangle rectangle pour utiliser le cosinus en 4ème ?

[Musique] Bonjour, dans cette vidéo tu vas pouvoir t'entraîner à calculer un angle ou une longueur à l'aide du cosinus. Si jamais cet exercice te pose difficulté, tu pourras à tout moment cliquer sur le lien suivant qui te mènera vers une autre vidéo où tout sera expliqué bien plus en détail. Commençons donc par calculer l'angle \( \widehat{BAC} \), c'est comme ça nous est demandé, en utilisant le cosinus, et pour cela je te laisse donc le faire, mettre la vidéo en pause et on corrige ensuite.

Correction. Bien alors, vu qu'on veut calculer l'angle \( \widehat{BAC} \), on voit qu'on a pas mal d'informations sur cette figure, il va falloir travailler là où on a le plus d'informations. On a en fait trois triangles : on a le triangle \( ABC \) pour lequel on connaît deux longueurs, \( 2 \) et \( 4 \), on a le triangle \( ABD \) pour lequel on ne connaît qu'une seule longueur, c'est \( 2 \), et on a le triangle \( BDC \) pour lequel, bah, on ne connaît rien du tout. Alors comme je l'ai dit, il est mieux de tenter des choses là où on a le plus d'informations, c'est-à-dire sur le triangle \( ABC \). Et ça tombe bien car le triangle \( ABC \) il est rectangle en \( B \). Du coup, comme on va appliquer le cosinus, on se doute bien que ça risque de marcher.

Quelle est la formule du cosinus pour calculer un angle en 4ème ?

Commençons donc déjà par régler les choses : dans le triangle \( ABC \) rectangle en \( B \), on a... eh bien on a une jolie formule, la formule du cosinus de l'angle qui va donc nous permettre de calculer la mesure de cet angle. Cette formule elle nous dit que le cosinus d'un angle est égal au côté adjacent sur l'hypoténuse.

Quand on regarde notre angle, il est ici, l'angle \( \widehat{BAC} \). Eh bien cet angle-là est formé par deux côtés du triangle \( ABC \), le côté \( AB \) et le côté \( AC \). Alors le côté \( AC \) on le connaît bien, il joue un rôle particulier dans le triangle rectangle : c'est l'hypoténuse. Du coup le côté \( AB \) c'est l'autre côté adjacent. En fait ils sont tous les deux adjacents à notre angle puisqu'ils forment tous les deux l'angle, mais celui qu'on va appeler adjacent c'est \( AB \) car l'autre s'appelle l'hypoténuse. Du coup on va appliquer la formule qui nous dit que cosinus de l'angle égale adjacent sur hypoténuse, et on va la traduire à notre exercice : soit cosinus de l'angle \( \widehat{BAC} \) égale adjacent, l'adjacent c'est \( AB \), sur l'hypoténuse, l'hypoténuse c'est \( AC \).

Ensuite on va remplacer toutes les longueurs connues. Alors ça nous fait cosinus de \( \widehat{BAC} \) égal à \( AB \), ça fait \( 2 \), sur \( AC \), \( AC \) ça fait \( 4 \). Alors \( \frac{2}{4} \), bon on ne va pas le laisser comme ça, \( \frac{2}{4} \) ça fait un demi, ça fait même d'ailleurs \( 0,5 \).

Comment utiliser la touche arccos ou cos-1 de la calculatrice pour trouver un angle ?

On connaît le cosinus d'un autre angle, il fait \( 0,5 \), et on voudrait retrouver notre angle. Car c'est pas le cosinus de \( \widehat{BAC} \) que je cherche, moi c'est \( \widehat{BAC} \) tout court. Eh bien pour cela, je vais utiliser la touche \( \cos^{-1} \) ou arccos de ma calculatrice, on le voit, et elle va nous renvoyer eh bien la mesure de notre angle \( \widehat{BAC} \). \( \cos^{-1}(0,5) \) est égal à \( 60 \), soit \( 60^\circ \) tout pile. \( 60^\circ \) c'est une valeur exacte, on peut donc en déduire que la mesure de l'angle \( \widehat{BAC} \), on va la noter maintenant, est égale à \( 60^\circ \).

Comment calculer la longueur d'un côté adjacent avec le cosinus en 4ème ?

À partir de là, on va pouvoir calculer la longueur \( AD \). Je te laisse pour cela mettre la vidéo en pause et le faire tout seul.

Correction. Alors on veut calculer \( AD \), ce qui veut dire que nécessairement il faudrait travailler dans un triangle qui fait intervenir \( AD \), sinon on ne risque pas d'y arriver. Alors \( AD \) est ici, et un triangle qui fait intervenir \( AD \), bah j'en n'ai qu'un seul, c'est le triangle \( BAD \). Et là aussi ça tombe bien parce que le triangle \( BAD \) il est rectangle en \( D \). Donc j'ai toutes les chances de pouvoir faire intervenir le cosinus, d'autant que si on regarde dans le triangle \( BAD \) maintenant, j'ai pas mal d'informations. Ce n'était pas le cas avant, mais maintenant oui : j'ai \( AB \) comme on l'avait avant, mais j'ai en plus l'angle de \( 60^\circ \), et ça, ça va permettre de décoincer les choses.

Pour calculer \( AD \), on va déjà noter : alors dans le triangle \( BAD \) rectangle en \( D \), on a... eh bien on va de nouveau appliquer le cosinus. Cosinus de notre angle est égal à adjacent sur hypoténuse. Mais attention, l'hypoténuse c'est maintenant le côté \( AB \) car dans le triangle \( BAD \), le plus grand côté, celui qui est opposé à l'angle droit, c'est \( AB \). Ce qui veut dire que pour l'angle ici de \( 60^\circ \), l'adjacent sera \( AD \). J'aurai donc cosinus de l'angle égal \( AD \) sur \( AB \). On l'écrit : cosinus de l'angle \( \widehat{BAC} \) ou \( \widehat{BAD} \) comme on veut puisque c'est le même angle, \( \widehat{BAD} \), \( \widehat{BAC} \), est égal à adjacent soit \( AD \) sur hypoténuse c'est-à-dire \( AB \).

On remplace par les mesures connues. Alors cos de \( \widehat{BAD} \)... bien \( \widehat{BAD} \) c'est \( 60^\circ \) on le voit ici, c'est comme \( \widehat{BAC} \). C'est donc, ça fait \( \cos(60^\circ) \) égal à \( AD \), bah c'est celui qu'on cherche donc pour l'instant je le recopie, sur \( AB \) soit \( 2 \). J'ai donc \( \cos(60^\circ) \) qui est égal à \( \frac{AD}{2} \).

Bien. Ce qu'on va faire pour se débarrasser ici de cette division par \( 2 \), on va tout simplement multiplier de part et d'autre par \( 2 \). On a le droit : si deux quantités sont égales, leur double le sont également, on comprend bien. Mais ce qui est intéressant c'est que là, en multipliant par \( 2 \) et en divisant par \( 2 \), eh bien ça s'efface, il reste simplement \( AD \). Ce qui veut dire que \( AD \) égale à \( 2 \) fois \( \cos(60^\circ) \).

Mais \( \cos(60^\circ) \) on sait bien combien ça fait. On l'a vu tout à l'heure puisqu'on a cherché tout à l'heure quel était l'angle tel que cos de cet angle égal à \( 0,5 \), et on a vu que c'était \( 60 \). Du coup \( \cos(60^\circ) \), on peut le vérifier sur la calculatrice si on n'en est pas convaincu, mais \( \cos(60^\circ) \) ça fait \( 0,5 \). Ce qui veut dire que là, eh bien je fais \( 2 \times 0,5 \) et \( 2 \times 0,5 \) eh bien ça fait \( 1 \). Soit \( AD \) égale à \( 1 \).

On l'a trouvée, la longueur qui manquait ici, \( AD \), est de une unité. Voilà, cette séquence est terminée.