Résoudre une équation (1)

[Musique]

Bonjour, dans cette vidéo, tu vas apprendre à résoudre une équation. Alors, cette vidéo fait partie d'une série de quatre vidéos sur la résolution des équations. Si tu veux voir les autres, tu cliques sur le lien ici à droite. Tu tomberas donc sur la playlist qui est les héberges. Celle-ci donc c'est la première. On va donc aller doucement. euh point de départ de la résolution des équations. On va donc commencer euh par euh des opérations type addition, soustraction sur les membres de de mon expression. Euh multiplication, division viendront donc dans les autres vidéos avec euh également euh le problème des parenthèses. C'est parti. Donc commençons par la première.

Que veut dire résoudre une équation en mathématiques ?

Alors comme c'est la première, je vais rappeler le principe de la résolution d'une équation. C'est très important de le comprendre. Résoudre une équation, c'est trouver la valeur de \( x \) telle que ceci soit vrai ou que ceci soit vrai. Alors pour cela, et bien on met en place des techniques algébriques. Ces techniques algébriques reposent sur une notion simple, c'est qu'à la fin je veux avoir \( x \) é= la réponse. Donc je sais pas quelle sera la réponse, mais j'aurai \( x \) é= la réponse. Alors la réponse ça peut être \( 2 \) \( 8 \) \( 12 \) \( 100000 \) \( 3 \) \( - 8 \) \( 4 \) disons \( 4 \) he et quand je seraiis arrivé à ceci j'aurais trouvé donc \( x = 4 \). Ça veut dire que la réponse c'est \( 4 \). Ça veut dire que quand je remplace par \( 4 \) ça marche hein.

Comment séparer les x et les nombres pour résoudre une équation en 4ème ?

Alors pour arriver à ça, ça c'est je veux arriver à ça. Donc ça sera pas \( 4 \), ça sera autre chose hein. Euh donc pour chacune de ces équations, on va considérer en fait que ici là on a la maison des \( x \) et là ici on a la maison des nombres. Alors, c'est un peu idiot comme image, mais ça va peut-être aider à comprendre. Euh, résoudre une équation, ça va faire que on va s'arranger pour ramener tous les toutes les petites expressions en \( x \) à gauche puisque ça c'est la maison des \( x \) et toutes les tous les nombres à droite puisque ça c'est la maison des nombres. Donc là, on voit ici qu'on a des \( x \) à droite. Là, on voit qu'on a des \( x \) à droite. C'est pas bon. Là, on voit qu'on a un nombre à gauche, c'est pas bon. Puisque si je veux avoir \( x \) é= un nombre, les \( x \) à gauche, les \( x \) habitent à gauche, les nombres habitent à droite. Il va falloir ramener chacun chez soi. He donc la technique de résolution des équations, c'est en gros ça. Chacun rentre chez soi de façon à avoir \( x \) à gauche, nombre à droite et là tu vas trouver \( x \). Bon, concrètement, ça donne quoi ?

Comment passer un nombre de l'autre côté du signe égal dans une équation ?

Et bien, je vais déjà recopier cette égalité. \[ x - 3 = - 2 \] Donc cette première équation euh équation qui est facile, peut-être tu vois la solution, mais on va on va quand même aller dans les détails de la méthode de façon à bien faire apparaître qui sont des \( x \), qui sont des nombres, même si c'est visible. Donc là, j'ai un \( x \), là j'ai un nombre et là j'ai encore un nombre. Et là, j'ai la barrière entre les deux. Bien, en gros euh résoudre \( x \), résoudre l'équation, c'est trouver \( x \), c'est chacun rentre chez soi. Ça veut dire que là dans cette maison là, et bien j'ai des membres qui sont pas chez eux. J'ai ici ce \( - 3 \). Il doit il va donc bien falloir s'en débarrasser de ce \( - 3 \) pour qu'il passe dans sa maison à droite du signe égal de façon à avoir \( x = 1 \) Alors pour me débarrasser de ce \( - 3 \) et bien il suffirait de lui ajouter un \( + 3 \) puisque \( - 3 + 3 \) ça fait \( 0 \). Si je rajoute ici \( + 3 \) là à gauche bien les deux s'éliminent et il me restera \( x \) tout seul chez lui.

Parfait. Mais euh est-ce que j'ai le droit de rajouter \( + 3 \) ? Imagine euh tu te trouves à côté de quelqu'un qui a la même taille que toi et puis tu montes sur un tabouret, bah il tu as plus la même taille, tu es plus grand. Donc qu'est-ce qu'il faut faire ? Bien, faut aussi que l'autre il monte sur un tabouret, un tabouret de même taille. Et bien prenons un tabouret de taille tout petit, \( 3 \) cm. Montons chacun sur un tabouret de taille \( 3 \) cm. On aura toujours la même taille. On gardera donc l'égalité. Si je rajoute \( + 3 \) ici et \( + 3 \) ici, je conserve l'égalité. C'est ce qu'on va faire.

Voilà, je l'ai schématiser ici par une barre. Je vais rajouter \( + 3 \) de chaque côté. Ce qui me donne quoi ? Et bien, si je rajoute \( + 3 \) ici, on l'a dit, \( - 3 \) et \( + 3 \) s'élimine, c'est parfait. Il me reste plus que \( x \). barrière égale le \( - 2 \) est toujours chez lui et si je rajoute \( + 3 \) de l'autre côté, bah j'ai \( + 3 \). Voilà, j'ai donc rajouté \( + 3 \) à gauche qui m'a permis d'éliminer mon \( 3 \) et \( + 3 \) à droite. Et maintenant, quand on regarde cette expression, elle est parfaite. Dans la maison des \( x \), je n'ai que des \( x \). Dans la maison des nombres, je n'ai que des nombres. Je n'ai plus qu'à calculer pour trouver \( X \). \( X \) é= et bien égal quoi ? Et bien effectuons-le. \( - 2 + 3 \) ça fait \( + 1 \) donc \( 1 x = 1 \). Terminé. J'ai trouvé la solution de mon équation \( x = 1 \). D'ailleurs, on peut même remplacer pour le vérifier. Je remplace ici par \( 1 - 3 \), bah ça fait bien \( - 2 \).

Comment résoudre une équation avec des x des deux côtés de l'égalité ?

Alors voilà, là c'est vraiment un exemple très simple, exemple de base euh pour comprendre le principe pour euh passer d'un côté à l'autre euh un nombre qui nous embête. On va appliquer ce même principe sur la deuxième expression. Déjà ce qu'on va faire, comme on l'a fait précédemment, c'est mettre en couleur chacun des membres de cette expression de façon à les reconnaître. Alors, j'ai ici \( 3x \) famille des \( x \) et là j'ai \( + 2x \) famille des \( x \). Alors, tu remarques que je mets le plus ici avec le \( 2x \) parce que c'est \( + 2x \). Depuis les nombres relatifs, on sait que chaque nombre a un signe. C'est celui qui est juste devant. Le \( 5 \), bien le \( 5 \), il est tout seul. Et voilà la barrière égale.

Observons maintenant ceci et regardons. Maison des \( x \), j'ai que des \( x \), c'est parfait, on n'y touche pas. Maison des nombres, j'ai un intru, le \( + 2x \) qui doit rentrer chez lui. Il faut donc se débarrasser de ce \( +x \). Et pour se débarrasser de ce \( + 2x \), et bien rien de plus simple que rajouter \( -x \). On va donc être amené ici à rajouter \( - 2x \). Mais si je rajoute \( - 2x \) à droite, tu l'as compris, il va falloir que je rajoute \( - 2x \) à gauche. Allons-y.

Donc on va être amené à rajouter de part et d'autre \( - 2x \). Je l'ai codé ici à côté d'une barre. Cela donne quoi ? Donc ici à gauche, j'ai donc \( 3x - 2x \) é= à droite le \( 5 \) il bouge pas et le \( + 2x \) ben il est parti puisque j'ai ajouté \( - 2x \). Résumons ici \( 3x - 2x \) \( 3x - 2x \) de l'autre côté \( 5 + 2x - 2x \) le \( 2x \) et le \( - 2x \) s'en vont, il me reste plus rien, c'est parfait. Je me suis débarrassé du \( +x \) qui était du mauvais côté. Observons notre expression. Maison des \( x \) toute rouge, j'ai que des \( x \). Maison des nombres toutes vertes, j'ai que des nombres. Réduction. Réduction. Oui, là il y a une petite réduction à faire mais elle tombe bien puisque elle va être très euh pratique vu que \( 3x - 2x \) \( 1x \) et que \( 1x \) est ég à \( x \). à droite, j'ai un \( 5 \) tout seul, il y a rien à toucher et c'est la réponse \( x = 5 \). On a la solution de l'équation \( x = 5 \) pour cette expression.

Comment résoudre une équation complexe avec des x et des nombres des deux côtés ?

On peut passer à la dernière équation. \[ 4x - 9 = 3x + 1 \] Alors celle-ci est un petit peu plus complexe, on va le voir tout de suite. On va comme pour les précédente la recopier en mettant des couleurs. Les \( x \) ici et ici, les nombres là \( - 9 \) \( + 1 \) et la barrière égale.

Alors là, on le voit, le problème c'est que il y a du monde un peu partout. Chez les \( x \), j'ai des nombres. Chez les nombres, j'ai des \( x \). On va donc être amené à faire en deux temps ce qu'on a fait ici et ici. Faudra le faire ici deux fois. Il va falloir ramener le \( 9 \) chez lui à droite et ramener le \( x \) chez lui à gauche. Bon, c'est pas grave, on prendra le temps qu'il faut. Commençons déjà par s'occuper du \( 9 \) et pour cela, on va le ramener à gauche. J'ai donc là \( 9 \). Comment se débarrasser du \( - 9 \) qui est à gauche ? et bien en ajoutant \( + 9 \).

Voilà. Donc je rajoute \( + 9 \) de part et d'autre. Qu'est-ce qui se passe ? Et bien il se passe le \( 4x \) ne bouge pas. Le \( - 9 \) s'en va puisque j'ai mis \( + 9 \) parrière égal. Le \( 3x \) le \( 3x \) ne bouge pas. Le \( + 1 \) ne bouge pas non plus. Et je rajoute donc mon \( + 9 \). Je répète, j'ai rajouté \( + 9 \) pour me débarrasser du \( - 9 \). Et là donc j'ai rajouté mon \( + 9 \).

Continuons. Ce \( 3x \) ici qui est à droite, on nen veut pas, il faut s'en débarrasser. Et pour s'en débarrasser, on va donc ajouter \( - 3x \). Comme ça, il s'éliminera et et j'aurai plus de \( x \) à droite.

Alors, je rajoute \( - 3x \). Donc, je rajoute \( - 3x \) à gauche. Le \( 4x \), je l'ai recopié. la barrière égale, je rajoute \( - 3x \) à droite qui s'élimine avec celui-là. Donc ils s'en vont, il reste \( + 1 + 9 \).

Alors du coup \( + 1 + 9 \), bah ça s'écrit tout simplement \( 1 + 9 \) puisque le plus est tout seul devant. Reste plus qu'à réduire de réduire de part et d'autre. \( 4x - 3x \) bah ça fait \( 1x \) comme précédemment. Donc \( x \) é= \( 1 + 9 \). Bien \( 1 + 9 \) ça fait \( 10 \). \( X = 10 \). Résultat solution de mon équation \[ 4x - 9 = 3x + 1 \] Et cette séquence est terminée.