Appliquer la réciproque du théorème de Thalès (1)
À quoi sert la réciproque du théorème de Thalès en 4ème ?
[Musique] bonjour dans cette vidéo nous allons apprendre à appliquer la réciproque du théorème de thalès on peut déjà se poser la question à quoi sert la réciproque du théorème de thalès on connaît bien le théorème de thalès qui nous permet de calculer des longueurs mais en quoi sa réciproque peut nous être utile ici et bien tout simplement parce que justement la réciproque du théorème de thalès va nous permettre de prouver que des droites sont parallèles et c'est bien là l'objet de l'exercice
Comment reconnaître la configuration de Thalès avec deux triangles ?
on nous donne ici un triangle \( c d e \) 1 point à sur le côté cédé un point b sur le côté c'est eux avec des longueurs qui sont donnés ici et on voudrait prouver que dans cette situation là la droite \( ab \) et la droite d eux sont parallèles et bien pour cela il va falloir considérer la figure d'une autre façon
quand on travaille avec le théorème de thalès il ne faut pas voir ici un triangle mais deux triangles et ses deux triangles sont les suivants le triangle \( c d e \) pour l'instant rien de nouveau c'est le même que j'ai défini tout à l'heure mais également le triangle \( c à b \) on dirait que le triangle \( c a b \) c le même que le cd eux mais en plus petit et ceci voudrait dire que les côtés du triangle \( c à b \) les longueurs des côtés du triangle s'est \( ab \) pardon sont proportionnelles aux longueurs des côtés du triangle \( c d e \) et ceci 2 à 2 si jamais on a ça eh bien on aura deux triangles qui seront en situation de thales et ça nous prouvera que nos droite à \( b \) et d eux sont parallèles c'est ce que dit le théorème ce que dit la réciproque du théorème de thalès
Quelle est la règle de la réciproque de Thalès pour prouver que des droites sont parallèles ?
mais on va voir plus précisément ce qu'elle nous dit dans le cas général voilà donc notre réciproque du théorème de thalès on retrouve ici la figure avec nos deux triangles qui sont emboîtés l'un dans l'autre pour la figure n'est pas tournée dans le même sens mais ça devrait pas poser de problème je pense pour revenir ensuite au cas de l'exercice j'ai marqué en rouge le petit triangle est un petit peu décalé en orange le grand triangle simplement pour pouvoir bien les repérer
alors on a dit tout à l'heure que la réciproque du théorème de thalès fonctionne de la manière suivante pour avoir le parallélisme qu'on attend eh bien il faut que les longueurs des côtés des deux triangles soit proportionnelle concrètement on va pas le vérifier pour les trois côtés mais pour deux côtés car si on là pour deux on l'a forcément pour le troisième pourvu qu'on ait l'alignement des points dans le même ordre c'est ce qui est marqué sur son autre énoncé alors énoncé qu'il nous dit de façon générale que si les points \( ab \) prime \( b \) et à ses primes c'est sont alignés dans le même ordre on le voit bien ici sur la figure on a un premier des primes deuxième et \( b \) 3e on aa premier ces primes deuxième c'est troisième donc ils sont bien alignés dans le même ordre et qu'on a le rapport sur le petit triangle \( ab \) prime sur le grand triangle \( ab \) ça nous donne premier rapport avait prime sur \( ab \) ensuite je fais la même chose sur l'autre côté petit triangle à ses primes grand triangle assez et bien si \( ab \) prime sur \( ab \) égal à ses primes sur \( ac \) on a le parallélisme des deux droites marquée envers \( b \) prime ces primes parallèle à baisser c'est justement ce qu'on veut dans notre situation
Comment calculer les rapports pour vérifier la réciproque de Thalès ?
allons-y donc maintenant pour vérifier sur notre triangle \( c d e \) on va plutôt dire sur nos deux triangles \( c d e \) et \( c à b \) si on a effectivement proportionnalité sur les côtés de ces triangles \( c a \) sur \( c d \) calculons de même \( c b \) sur \( c e \) et regardons ce qui se passe si on a l'égalité nos droite seront parallèle
alors \( c a \) 85 \( c d \) alors \( c d \) c'est tout le côté soit \( 4,5 \) et \( 1.5 \) qui nous donne \( 6 \) [Musique] passons au deuxième rapport \( c b \) \( c b \) fait \( 3 \) / c'est eux c'est eux donc c'est tout le côté soit \( 3 \) et \( 1 \) \( 4 \) alors on a \( 4 \) \( 5 \) sur \( 6 \) pour le premier rapport \( 3 \) sur \( 4 \) pour le deuxième rapport on retrouve pas la même chose mais c'est pas pour autant qu'ils sont différents
alors trois sur quatre c'est une fraction qu'on peut pas réduire on peut pas toucher donc on va la laisser de cette façon là par contre \( 4 \) \( 5 \) sur \( 6 \) ça on peut l'écrire autrement on va déjà se débarrasser ici de la virgule en multipliant par \( 2 \) au numérateur ce qui me donne \( 9 \) du coup si je multiplie par \( 2 \) au numérateur je fais d'eux mêmes au dénominateur \( 6 \times 2 \) \( 12 \) alors \( 9/12 \) s'est toujours pas trois quarts par contre quand on regarde \( 9/12 \) on reconnaît ici \( 2 \) nombre qui sont divisibles par \( 3 \) et je peux donc les diviser par \( 3 \) \( 9 / 3 \) ça me donne \( 3 \) \( 12 / 3 \) ça me donne \( 4 \) et là ça change tout parce que j'ai d'un côté c'est \( a \) sur \( c d \) qui fait trois quarts d'un autre côté j'ai ses blessures c'est eux qui fait \( 3/4 \) également on peut en déduire que re \( c a \) sur \( c d \) égale \( c b \) sur \( c e \) on a donc l'égalité des rapports
Comment savoir si les points sont alignés dans le même ordre pour Thalès ?
par ailleurs c'est \( a \) dcb eux sont alignés dans le même ordre alors qu'ils sont alignés dans le même ordre en général c'est toujours le cas tout simplement parce que s'ils n'étaient pas alignés dans le même ordre en fait on essaierait de prouver que une droite comme si et une droite comme ça serait parallèle ce qui n'aurait pas de sens donc la plupart du temps ya pas trop de piège par rapport à l'ordre en tous les cas on peut maintenant appliquer la réciproque du théorème de thalès on l'écrit d'après la réciproque du théorème de thalès on a \( ab \) parallèle à des oeufs j'utilise une notation abrégé pour conclure en tout cas cette séquence est terminée
