Calculer une longueur avec le théorème de Thalès (2)

Comment utiliser le théorème de Thalès pour calculer une longueur en 4ème ?

[Musique] bonjour dans cette vidéo tu vas pouvoir apprendre à appliquer le théorème de thalès alors cette vidéo fait suite à une autre vidéo dans laquelle tu pourras trouver un exemple un peu plus simple que celui ci et que je t'invite à visionner si tu ne l'a pas encore fait car ici on va aller un peu plus vite et je ne vais plus expliqué en détail le fonctionnement du théorème de thalès ici on va juste l'appliquent époque n'hésite pas à visionner cette autre vidéo si tu démarres seulement avec le théorème de thalès

alors en tout cas ici le contexte est le suivant on se donne donc la figure ci-contre où on a un parallélogramme qui se nomme \(ABCD\) on a des longueurs qui sont donnés bon je vais pas les relier on les voit sur la figure on considère que les points \(E\), \(D\) et \(A\) sont alignés et que les points \(E\), \(F\) et \(B\) sont également alignés à partir de là on nous demande de calcul et de longueur qui sont \(DF\) et \(BF\) et ça tombe bien parce que le théorème de thalès donne justement des rapports de proportionnalité sur des longueurs de triangle qui va falloir repérer et à partir de là eh bien on va pouvoir certainement calculer des longues heures manquantes dans notre figure

Quelle est la formule du théorème de Thalès ?

alors on va quand même très rapidement rappelé le contexte du théorème de thalès où on nous dit que si on a un triangle \(ABC\) et deux points \(B'\) et \(C'\) qui appartiennent respectivement l'un aux segments \(AB\) et l'autre au segment \(AC\) est bien à la condition que les droites \(BC\) et \(B'C'\) soit parallèle on a une double inégalités une double égalité sur des rapports de longues heures sur des côtés du des triangles en fait des deux triangles qui on le voit son marquer l'un est marquée envers l'autre et marqué en bleu ce sont des triangles qui sont emboîtés on dit en fait que sont des triangles semblables c'est vrai qu'ils se ressemblent beaucoup

quand on regarde le triangle \(ABC\) donc celui en bleu et \(AB'C'\) celui envers eh bien on a envie de dire qu'anne a l'unc et dans l'autre et puis que l'un est bien le petit de l'autre en fait ils se ressemblent terriblement pas tout simplement parce que ils ont les côtés qui sont 2 à 2 proportionnelle et ça donne quoi bien ça donne \[ \frac{AB'}{AB} = \frac{AC'}{AC} = \frac{B'C'}{BC} \] voilà ça c'est le théorème de thalès

Comment savoir si on peut utiliser le théorème de Thalès sur une figure ?

y at il moyen de l'appliquer dans notre configuration la réponse est évidemment oui et là la question est dès qu'elles sont les deux triangles qui vont entrer en jeu dans cette fameuse configuration de thales et ceci n'est pas évident parce que les triangles j'en ai plusieurs alors on sait déjà que ces triangles doivent reposer sur des droites parallèles or ici je n'ai pas de droites parallèles qui sont donnés par contre j'ai quand même un parallélogramme \(ABCD\) donc quelque part j'ai aussi des côtés parallèle puisque un parallélogramme c'est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles

alors maintenant en y regardant de plus près sur cette figure on aurait quand même envie de s'appuyer sur les droites \(DC\) et \(AB\) plus précisément sur les segments \(DF\) et \(AB\) qui sont parallèles parce que là du coup sûr toute la gauche de ma figure je trouve deux triangles emboîté l'un dans l'autre qui se ressemblent terriblement et on a envie de dire que ces deux triangles sont justement en configuration de thales et oui ils le sont on a le triangle \(EDF\) et le triangle \(EAD\) qui sont bien en configuration de thales car les droites \(DF\) et \(AB\) sont parallèles on est sur un parallélogramme on a déjà noté ceci avant de s'attaquer maintenant à la conclusion qui nous est donnée par thales est à dire la double égalité sur les rapports

alors grâce au triangle \(EDF\) et \(EAB\) on a une configuration de thales on peut parler de situation de thales pourquoi se sait on va pas rentrer dans les détails ce qui est important c'est d'avoir ces deux droites parallèles c'est ça la condition qui est nécessaire pour faire marcher thales donc on le rappelle ici \(ABCD\) est un pareil logram les côtés opposés sont donc parallèle donc \(DF\) parallèle à \(AB\) alors le parallélogramme nous donne \(DC\) parallèles à \(AB\) mais en dés et en fait c'est \(DF\) c'est la même droite on passe tout de suite à \(DF\) comme ça on est vraiment avec notre configuration de thales classique

Comment écrire l'égalité des rapports avec le théorème de Thalès ?

à partir de là on a les trois rapports égaux alors ces trois rapports ego sont construits comme ça à chaque fois que je prends un côté sur le petit triangle jeu mais en dessous un côté du devant grand triangle et qui lui correspond ça fait donc du petit sur grand égale petit sur grand égale petit sur grand sage je l'explique plus en détail dans l'autre vidéo ici on va un peu plus vite soit alors si je dit \(ED\) sont le petit triangle il lui correspond \(EA\) sou le grand triangle égal si je dis \(EF\) sur le petit triangle qui lui correspond \(EB\) sur le grand crime égal et ensuite on s'attaque aux deux droites parallèles donc là c'est facile car si je dis \(DF\) sur le petit triangle et bien je vais dire forcément \(AB\) sur le grand triangle et tu vois qu'ici je ne me préoccupe toujours pas de ce que je dois calculer j'ai appliqué mon théorème de thalès \[ \frac{ED}{EA} = \frac{EF}{EB} = \frac{DF}{AB} \]

mais il est peut-être temps maintenant de voir si ce qu'on a fait là va réellement nous permettre de calculer les longues heures que l'on cherche on rappelle qu on cherche \(DF\) alors \(DF\) intervient bien ici donc on sait déjà sur une bonne voie et on nous demande également de calculer \(BF\) par contre \(BF\) intervient d'une part bon eh bien j'ai envie de dire c'est pas grave on va voir déjà avec cette configuration-là de thales ce qu'on arrive à calculer et peut-être que au final on va obtenir des longueurs qui vont nous permettre d'obtenir notre \(BF\) qui nous manque d'une autre manière l'essentiel c'est de pouvoir avancer et déjà de pouvoir répondre à la première question qui est de calculer \(DF\)

Comment calculer une longueur manquante avec un produit en croix ?

alors pour cela maintenant il faudrait remplacer ici toutes les longueurs connu dans cette double égalité alors on reprend longueurs après longueur \(ED\) on a des inconnus c'est \(3,5\) cm donc j'écris \(3,5\) sur \(EA\) alors \(EA\) n'est pas directement donné mais il suffit juste de faire la somme \(3,5 + 4 = 7,5\) égal je poursuis \(EF\) \(EF\) est connu c'est \(3\) sur \(EB\) alors \(EB\) n'est pas connue là donc on est obligé garder le \(EB\) égal \(DF\) \(DF\) n'est pas connue bien sûr puisqu'on l'a dit justement il faut le calculer sur \(AB\) alors \(AB\) est connu et ça fait \(7\) cm voilà

regardons maintenant où on en est on a ici nous manque \(EB\) il nous manque \(DF\) \(DF\) on a dit que c'est une longueur qu'on cherche à calculer on va donc commencer par calcul et \(DF\) et pour cela est bien vu que c'est une double égalité on peut cacher ici et dire que finalement on a \(3,5\) sur \(7,5\) qui est égal à \(DF\) sur \(7\) \[ \frac{3,5}{7,5} = \frac{DF}{7} \] donc il y a là une relation de proportionnalité ce sont donc des quotients ego et on va pouvoir utiliser la méthode de la 4ème proportionnelle du produit en croix pour calculer la longueur ou manquantes \(DF\)

alors le principe est le suivant tu t'en souviens je pense les déjà répété dans de nombreuses séquences on commence par multiplier sur la diagonale comme nous fait penser le signe multiplier qui est formé ici de deux diagonales donc ici je vais commencer donc par faire \(7 \times 3,5\) je multiples ici en diagonale je l'écris \(DF\) égal à \(7 \times 3,5\) et ensuite je divise ici sur la colonne donc comme nous fait penser le s'il divise et qui est écrit en colonne donc divisé par \(7,5\) et là on trouve pas une valeur exacte alors bon rien n'est dit dans l'énoncé donc on peut soit donner une valeur exacte sous la forme d'un quotient on va pas le faire ici on va donner une valeur approché donc on va choisir et je propose une valeur approché au centième ce qui va nous donner \(3,27\) donc \(DF \approx 3,27\) alors ce sont des cm donc cm voilà

Comment déduire une longueur à partir d'un segment sur une figure ?

donc on a déjà notre \(DF\) il nous manque maintenant notre \(BF\) alors le la d'oubli égalité ici nous permet de calculer \(EB\) et quand on regarde sur la figure finalement si j'arrive à calculer toute la longueur \(EB\) vu que je connais la longueur \(EF\) qui fait \(3\) eh bien je pourrais en déduire par une soustraction la longueur \(BF\) qui nous est demandé

donc commençons déjà par calcul et \(EB\) est comme on l'avait dit tout à l'heure finalement eh bien on va s'en sortir avec la longueur qui qu'on peut calculer ici et bien comme tout à l'heure on va donc considérer ici ce petit carré je connais trois nombres je cherche le 4e 4e proportionnelle on commence par multiplier sur la diagonale soit \(3 \times 7,5\) \(EB\) égal à \(3 \times 7,5\) et on divise ensuite sur la colonne divisé par \(3,5\)

on effectue ça voilà on retrouve on retombe de nouveau sur quelque chose qu'on peut pas écrire sous forme décimale donc on va en donner une valeur approcher et donc par cohérence on va s'arrêter également aux centièmes soit \(6,43\) donc \(EB \approx 6,43\) alors on rappelle que ce n'est pas \(EB\) qu'on cherche mais que c'est \(BF\) qu'on cherche donc on a \(6,43\) pour le tout et on a \(3\) centimètres pour \(EF\) donc il suffit de faire \(6,43 - 3\) et on obtient notre \(BF\) soit \(BF = 3,43\) cm et cette séquence est terminée