Vérifier qu'un triangle est rectangle (1)

A quoi sert la réciproque du théorème de Pythagore en 4ème ?

[Musique] bonjour dans cette vidéo tu vas pouvoir apprendre à démontrer qu'un triangle est rectangle à l'aide de la formule de Pythagore on donne ici donc un triangle \( ABC \) et on voudrait savoir si ce triangle est rectangle connaissant les longueurs des trois côtés alors pour ça et bien on va appliquer la formule de Pythagore en l'occurrence ici on va appliquer ce qu'on a appelle ce que tu appelles peut-être dans ta classe la réciproque du théorème de Pythagore c'estàd que le théorème de Pythagore permet de calculer des longueurs ici c'est pas le cas puisqueon voit bien que on a toutes les longueurs hein et la réciproque du théorème de Pythagore donc la propriété qui fonctionne dans l'autre sens on va la rappeler permet de démontrer qu'un triangle est rectangle alors rappelons déjà ce théorème qui nous dit bien qui nous dit que si jamais dans un triangle le carré de l'hypoténuse donc la longueur de l'hypoténuse élevé au carré est égal à la somme des carrés des deux autres côtés donc je prends un des côtés j'lève au carré je prends l'autre j'lève au carré j'additionne et je retrouve le mon carré d'hypoténuse dans ce cas-là le triangle il est rectangle

Comment trouver l'hypoténuse d'un triangle avec les longueurs ?

reste à savoir dans notre exercice quel pourrait être l'hypoténuse du triangle alors comme j'ai dessiné le triangle évidemment ça induit le fait que siil y a hypoténuse c'est \( BC \) mais si jamais dans ton exercice les longueurs sont donné par le biais d'un texte il va falloir déterminer quelle peut être la longueur de l'hypoténuse parce que c'est celle que tu vas devoir calculer toute seule et bien l'hypoténuse s'il y a hypoténuse si le triangle est effectivement rectangle ça ne peut que être \( BC \) car l'hypoténuse dans un triangle c'est toujours le plus grand côté donc tu vas commencer par calculer tout seul le plus grand côté ce qui veut dire que si le triangle est rectangle il est nécessairement rectangle en A forcément parce que l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit du triangle

Comment utiliser l'égalité de Pythagore pour montrer qu'un triangle est rectangle ?

donc on va démontrer ici que notre triangle \( ABC \) est rectangle en A et c'est pour ça qu'on va commencer par calculer tout seul \( BC^2 \) alors d'une part on va calculer \( BC^2 \) si le triangle est rectangle et bien il faudra que cette longueur au carré soit égale à la somme des carrés des deux autres côtés donc on va calculer d'autre part et bien cette longueur au carré plus cette longueur au carré d'autre part \( AB^2 + AC^2 \) é= le truc est maintenant de montrer que ça est égal à ça si on arrive à prouver que ça est égal à ça et bien la formule de Pythagore fonctionnera et on pourra en déduire que notre triangle est rectangle alors calculons d'une part et d'autre part les longueurs au carré que l'on a sélectionné commençons par \( BC^2 \) alors \( BC^2 \) c'est \( 13^2 \) \( 13^2 \) \( 13^2 \) attention c'est pas \( 13 \times 2 \) mais \( 13 \times 13 \) donc \( 13 \times 13 \) 169 poursuivons calculons maintenant \( AB^2 + AC^2 \) alors je vais le faire en dessous juste pour des raisons de place \( AB^2 \) bien \( AB^2 \) \( AB \) vaut 12 donc \( AB^2 \) ça sera \( 12^2 \) plus \( AC^2 \) \( AC \) vaut 5 donc ça sera \( 5^2 \) calculons C de car \( 12^2 \) fait 144 \( 5^2 \) 25 \( 144 + 25 \) 169 c'est parfait je retrouve bien le 169 que j'avais précédemment

Comment rédiger la réciproque du théorème de Pythagore au brevet ?

j'ai donc ici le carré de l'hypoténuse qui fait 169 la somme des carrés des deux autres côtés qui est également égale à 169 je vais donc l'écrire \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \] l'égalité de Pythagore est vérifiée on peut donc en conclure que notre triangle est rectangle en A alors pour la fin la rédaction va un petit peu dépendre de ce que tu as vu dans ta classe bien moi je vais rédiger en utilisant le terme d'égalité de Pythagore mais tu peux également utiliser le nom de réciproque du théorème de Pythagore comme je l'ai dit tout à l'heure l'égalité de Pythagore est vérifiée ou la réciproque du théorème de Pythagore est vérifié et donc le triangle \( ABC \) est rectangle en A alors petite précision au brevet si tu travailles ça pour le brevet que tu utilises le terme d'égalité de Pythagore de formule de Pythagore de réciproque de théorème de Pythagore tout passera sans problème les trois sont justes voilà cette séquence est terminée