Comprendre la notion de réciproque

Qu'est-ce qu'une propriété réciproque en 4ème ?

bonjour dans cette vidéo je vais t'expliquer la notion de réciproque de propriété réciproque théorème réciproque par exemple en classe de quatrième tu vois où tu as déjà vu ce qui s'appelle le théorème de pythagore et la réciproque du théorème de pythagore qu'est ce que cela signifie que l'un est réciproque de l'autre mais pour cela on va partir d'une propriété que tu vois déjà ici et on va s'intéresser à savoir si cette propriété admet effectivement une propriété réciproque et si oui mais un calais cette propriété réciproque comment la construire comment la comprendre

alors cette propriété elle te dit la chose suivante elle te dis que si \(abcd\) est un rectangle alors \(abcd\) à des diagonales de même longueur c'est une propriété bien connu que tu comprends bien je pense mais qu'on va quand même vérifier c'est important pour bien comprendre comment fonctionne une propriété alors je reprends la lecture si \(abcd\) est un rectangle ce qui est noté ici en rouge s'appelle la condition de ma propriété

je dois avoir au départ un rectangle alors d sinon un rectangle voilà donc un rectangle conclusion qui est notée donc en verre et bien alors \(abcd\) à des diagonales de même longueur en conclusion que j'obtiens à des diagonales de même longueur en quelque sorte gratuitement au départ je dessine un rectangle en le faisant précisément avec toutes les propriétés de mon rectangle conditions conclusion les diagonales sont de même longueur

vérifions si c'est vrai prenons ces deux diagonales déjà les foules et racé et mme été long mais mettons-les côte à côte pour voir si effectivement ces deux diagonales ont la même longueur et oui ces deux diagonales ont la même longueur donc dès que je dessine un rectangle au départ en conclusion j'obtiens des diagonales de donc c'est ça que me dit cette propriété

Comment trouver la réciproque d'une propriété ?

est ce que cette propriété admet une réciproque alors va pour cela on va fabriquer la propriété réciproque comment ça marche une propriété réciproque c'est une propriété où la condition et la conclusion de la propriété de départ s'échangent je vais donc prendre ce qui est en rouge en haut pour le mettre en bas en conclusion et ce qui est en verre en bas pour le mettre en å en condition allons-y

voilà la propriété réciproque si elle existe un attention et si \(abcd\) à des diagonales de même longueur alors \(a b c d\) et un rectangle

Comment savoir si la réciproque d'une propriété est vraie ?

vérifions si cette propriété est vrai vérifiant donc si la propriété de départ admet effectivement une réciproque je vais donc commencer ici par tracer des diagonales de même longueur je ne trace pas un rectangle ceci devient une conclusion donc pour l'instant je vais commencer par tracé deux diagonales de même donc traçons deux segments de même longueur et avec ces deux segments de même longueur on va fabriquer des diagonales donc pour fabriquer des diagonales il suffit juste que mes deux segments se croisent et donc là ça va devenir des diagonales d'un quadrilatère

donc je prends mes deux diagonales je les fait se croiser voilà est ce que le quadrilatère qui est formé par ces deux diagonales est effectivement un rectangle pire traçons ce quadrilatère pour le vérifier on trace notre quadrilatère et là où ça ressemble à tous mais certainement pas un rectangle et bien avec la condition ci a baissé d 1 des diagonales de même longueur je n'obtiens pas la conclusion alors \(abcd\) est un rectangle et bien c'est réciproque et fausse la propriété de départ nahd mais pas de réciproque et oui toutes les propriétés n'admettent pas forcément de réciproque s'est pas toujours vrai

Quelles sont les propriétés des diagonales d'un rectangle ?

donc ce qu'on voudrait quand même c'est avoir un exemple où ils propriété a une propriété réciproque ça serait quand même dommage de finir cette vidéo sans avoir une propriété sa réciproque alors ce qu'on va faire on va déjà viré la réciproque et je vais modifier ma propriété de départ pour qu'elle admette une réciproque bien pour cela je vais ajouter une petite un petit quelque chose à ma conclusion je reprends donc si \(abcd\) est un rectangle alors \(abcd\) à des diagonales de même longueur et de même milieu

ok déjà vérifions que cette propriété est vrai pour cela et bien on va recommencer je fais donc un rectangle c'est la condition je trace les diagonales pour vérifier ma conclusion alors je vais plus vérifier qu'elles sont de même longueur on l'a déjà fait tout à l'heure mais je voudrais vérifier si ces diagonales à ont effectivement le même milieu est ce que ces diagonales se coupant leur milieu est-ce que la distance qui va du centre ici que j'ai marqué donc en verre est-ce que ce centre là se situe bien la même distance des sceaux mais de part et d'autre

bon pour le vérifier on va tout simplement tracer un cercle cij est partout le même rayon pas forcément ça sera le ce centre là sera bien le centre du rectangle qui est donc le le milieu de chaque diagonale patras ont ce cercle et on voit bien que ce serbe passe pas tous les sommets donc j'ai effectivement la même longueur de part et d'autre du centre sur une diagonale et son lot de diagonale les diagonales se coupent bien en leur milieu mais tu le savez sans doute

Comment démontrer qu'un quadrilatère est un rectangle avec ses diagonales ?

fabriquons la propriété réciproque comme tout à l'heure je prends ma condition qui devient conclusion je prends ma conclusion qui devient conditions ça donne quoi propriété réciproque si \(abcd\) à des diagonales de même longueur et de même milieu alors \(a b c d\) et un rectangle

est ce que cette propriété est vrai bien pour cela on va faire comme tout à l'heure on va prendre deux segments de même longueur comme tout à l'heure et on va fabriquer avec ses segments des diagonales mais attention ces diagonales n'auront pas le droit de se couper n'importe où comme tout à l'heure elles devront se couper conditions en leur milieu donc je vais déjà pour ces deux segments déterminer leurs deux milieux

voilà qui est fait et je vais attraper mais segment pour les faire se croiser mais pas n'importe où la condition m'impose que ces deux segments se croisent en leur milieu je vais donc faire superposés ces deux milieux puisqu'ils ont le même milieu voilà qui est fait j'ai donc respecter la condition qui dit que j'ai deux diagonales qui ont même longueur et même ils vérifiant la conclusion traçons donc le quadrilatère qui va autour qui est formée donc par ces deux diagonales et là ô miracle c'est pas un miracle bien sûr c'est de la géométrie et bien c'est ce quadrilatère est effectivement un rectangle \(abcd\) et bien un rectangle

cette propriété réciproque semble bien exact et je te rassure elle les si \(abcd\) à des diagonales de même longueur et de même milieu alors \(abcd\) est un rectangle et la propriété réciproque de la première donc on alla bien construit une propriété et sa réciproque

Quelle est la différence entre une propriété et sa réciproque ?

dernière chose que je voudrais te dire c'est que on n'est pas obligé de dire que l'une et la réciproque de l'autre ça peut être dans les 2 sens c'est à dire que je peux très bien dire que la deuxième est la propriété des parts et que la première est sa propriété réciproque à partir du moment où une propriété admet une réciproque on peut échanger leurs leurs fonctions de l'un par rapport à l'autre et cette séquence est terminée