Calculer une longueur avec le théorème de Pythagore (1)

Comment calculer la longueur d'un côté avec le théorème de Pythagore en 4ème ?

[Musique] bonjour dans cette vidéo tu vas pouvoir utiliser la formule de Pythagore pour calculer la longueur d'un côté du triangle rectangle alors ici la longueur à calculer sera l'hypoténuse tu trouveras une autre vidéo où tu pourras calculer la longueur d'un autre côté la méthode est un tout petit peu différente euh donc on a ici un triangle rectangle \(ABC\) qui est donc rectangle en \(A\) on connaitt de longueur et on voudrait calculer la troisième alors c'est toujours le principe quand tu as utilisé quand tu as utilisé Pythagore pour calculer une longueur il faut au moins en connaître deux ici donc ça va marcher on cherche à calculer la longueur \(BC\) donc la longueur de l'hypoténuse on peut rappeler ce très fameux théorème de Pythagore qui te dit quoi

Quelle est la formule du théorème de Pythagore ?

alors je vais le rappeler d'abord sur un exemple pour bien comprendre le sens de ce théorème qui te dit et bien là on a l'exemple vraiment le plus classique euh le triangle de côté \(3\), \(4\), \(5\) donc rectangle en \(A\) également et bien si tu prends le carré de l'hypoténuse donc \(5^2\) c'est-à-dire \(5 \times 5\) qui donne \(25\) et bien ce carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés c'estàdire je vais faire ici \(3^2\) \(9\) je vais faire ici et bien \(4^2\) qui me donne \(16\) et en faisant \(9 + 16\) je retrouve bien \(25\) le carré de l'hypothénuse et ceci est vrai pour n'importe quel triangle rectangle selon la formule de Pythagore on peut la rappeler dans le cas général et c'est là-dessus qu'on va s'appuyer et bien si tes côtés ont pour longueur \(A\), \(B\) et \(C\) \(a^2\) le carré donc de l'hypoténuse est égal à \(b^2 + c^2\) la somme des carrés des deux autres côtés

Comment savoir si on peut utiliser le théorème de Pythagore ?

appliquons cette règle pour calculer la longueur \(BC\) avant ça donc un tout petit peu de rédaction on demande pas grand-chose mais une enfin la condition essentielle pour mettre en œuvre Pythagore et celle-ci il t' quand même demandé de la rappeler c'est de dire au moins que le triangle est rectangle et dire où est le rectangle on peut l'écrire le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\) on peut donc appliquer le théorème de Pythagore ou la formule de Pythagore ou l'égalité de Pythagore tout ça ça va dépendre un peu comment tu l'as travaillé en classe je vais utiliser de façon assez classique l'expression le théorème de Pythagore

Comment rédiger le théorème de Pythagore sur sa copie ?

alors le théorème de Pythagore qui nous dit quoi qui nous dit que le carré de l'hypoténuse alors maintenant il va falloir écrire ça dans le contexte de notre exercice ici le l'hypoténuse c'est \(BC\) donc le carré de \(BC\) alors j'écris \(BC^2\) le carré de l'hypoténuse est égal à la somme plus des carrés des deux autres côtés donc euh le premier côté on va choisir \(AB\) donc \(AB^2\) et l'autre ça va être \(AC\) donc \(+ AC^2\) le carré de l'hypoténnuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés donc en gros tu prends les carrés des deux autres côtés et ceci c'est égal au carré de l'hypoténuse

Comment calculer la longueur de l'hypoténuse ?

étape suivante on va maintenant remplacer alors remplaçons \(BC^2\) bien sûr je le recopie puisque c'est bien le côté que je cherche \(AB^2\) bien \(AB\) fait \(15\) donc \(15^2\) plus \(AC^2\) \(AC\) fait \(8\) donc \(8^2\) continuons \(BC^2\) est donc égal à alors \(15^2\) voilà attaque calculatrice à moins que tu connaisses cette valeur par cœur elle est quand même assez classique \(15^2\) attention ce n'est pas \(15 \times 2\) mais \(15 \times 15\) donc \(15 \times 15\) donne \(225\) plus \(6^2\) \(8 \times 8\) so \(64\) ok maintenant on va faire la somme de ces deux nombres \(225\) et \(64\) donc \(BC^2\) est égal à \(289\)

Comment enlever le carré dans le théorème de Pythagore avec la calculatrice ?

on y est presque on a trouvé \(BC^2\) \(289\) mais attention on a trouvé donc cette longueur au carré moi je voudrais savoir mais quelle est cette longueur c'est-à-dire quel est le nombre qui multiplié par lui-même me renvoie \(289\) un peu comme tout à l'heure quand on avait euh \(5^2\) qui donnait \(25\) là il faut faire le chemin inverse et bien admettons voilà j'obtiens \(25\) qu est le nombre qui me renvoie \(25\) on le sait on l'a vu c'est \(5\) ici quel est le nombre qui me renvoie \(289\) et bien pour cela on utilise la calculatrice qui va permettre très facilement de trouver la solution grâce à la touche racine carrée qui est la touche inverse de la touche carrée sur la calculatrice euh et bien allons-y \(289\) je demande donc la racine carré \(289\) je vais l'écrire \(\sqrt{289}\) et là j'obtiendrai mon \(BC\) \(\sqrt{289}\) et bien la calculatrice me renvoie \(17\) en effet on va le vérifier sur la calculatrice bon évidemment c'est juste enfin on va le vérifier quand même pour bien que tu le comprennes si je le refais dans l'autre sens \(17^2\) et bien effectivement ça me renvoie bien \(289\) donc le nombre qui multiplié par lui-même est égal à \(289\) c'est \(17\) on en a infiniini et on peut conclure

voilà pour la longueur \(BC\) et cette séquence est terminée