Écrire la formule de Pythagore

À quoi sert le théorème de Pythagore en 4ème ?

[Musique] bonjour dans cette vidéo tu vas apprendre à écrire l'égalité de Pythagore dans un triangle rectangle alors oui l'égalité de Pythagore le théorème de Pythagore ça ne fonctionne que dans un triangle rectangle et d'ailleurs tu verras plus tard que grâce à cette égalité de Pythagore tu vas même pouvoir vérifier si un triangle est bien rectangle alors ici on va apprendre tout simplement à reconnaître l'égalité de Pythagore dans un triangle rectangle

Comment reconnaître l'hypoténuse d'un triangle rectangle ?

alors je propose ici un premier triangle rectangle si tu avances un peu plus dans la vidéo tu verras qu'il y en aura deux autres ce que je voudrais donc c'est bah justement écrire mon égalité de Pythagore dans ce triangle rectangle là et qu'est-ce qu'elle dit déjà l'égalité de Pythagore on peut la rappeler bien l'égalité de Pythagore elle nous dit que le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés oh voilà voilà une longue phrase qui exprime en réalité quelque chose de pas très compliqué et bien si je reviens à mon triangle cela voudrait dire le carré de l'hypoténuse déjà qu'est-ce que c'est que l'hypoténuse l'hypoténuse dans un triangle rectangle c'est le plus grand côté alors on voit ici c'est \(DC\) si jamais tu n'arrives pas à reconnaître le plus grand côté des fois c'est pas trop évident suivant comment le triangle est retourné et bien le l'hypoténuse c'est le côté qui est opposé à l'angle droit donc tu prends ton angle droit tu regardes en face et là tu as l'hypoténuse

Comment vérifier l'égalité de Pythagore avec les longueurs des côtés ?

le carré de l'hypoténus ça veut dire que ce nombre là je vais le mettre au carré admettons que ce côté-là mesure \(5\) cm alors j'écris \(5\) et que celui-ci mesure \(3\) et que celui-ci mesure \(4\) hein euh mon égalité de Pythagore elle dirait quoi elle dirait que le carré de l'hypoténuse alors le carré de l'hypoténuse l'hypoténuse c'est \(5\) le carré de \(5\) c'est \(5\) au Carr ok \(5\) au carré ça fait \(5 \times 5\) ça fait \(25\) je reprends la lecture le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors les deux autres côtés c'est quoi bah c'est lui et c'est lui \(3\) dB et \(4\) BC les carrés des deux autres côtés alors je prends le carré de l'un donc celui-ci que je calcule \(3\) au Carr ça fait \(9\) et le carré de l'autre \(4\) au Carr que je calcule \(4 \times 4\) \(4\) au car ça fait \(16\) je reprends la lecture est égal à la somme des carrés des deux autres côtés à la somme des carrés des deux autres côtés je dois donc faire la somme des carrés c'estd la somme de \(9 + 16\) et la somme de \(9 + 16\) c'est \(25\) et bien le théorème de Pythagore la formule de Pythagore elle dit quoi je reprends la lecture le carré de l'hypoténuse \(25\) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés \(25\) et bien là voilà voit ici que l'égalité de Pythagore est vérifiée avec les côtés \(5\) \(3\) et \(4\) on retrouve bien le carré de l'hypoténuse toute seule qui est égale à la somme des carrés des deux autres côtés

Quelle est la formule du théorème de Pythagore avec les lettres ?

maintenant appliquons ça de façon plus générale pour écrire l'égalité de Pythagore mais cette fois-ci sous la forme d'une formule avec ce triangle rectangle voilà alors j'ai effacé de nouveau toutes mes longueurs on se retrouve de nouveau dans le cas général maintenant que tu as compris comment fonctionne cette égalité de Pythagore donc ben je vais reprendre mon texte qui me dit que le carré de l'hypoténuse l'hypoténuse on l'a dit avant ici c'est cette longueur là qui s'appelle \(CD\) ou \(DC\) comme tu veux donc le carré de l'hypoténuse \(CD\) au carré est égal est égal à la somme plus la somme de quoi des carrés des deux autres côtés alors je prends un côté au carré celui-là qui s'appelle \(BD\) je le mets au carré plus je prends l'autre côté \(BC\) et je le mets au carré et bien voilà l'égalité de Pythagore le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés à partir de cette formule là on va pouvoir plus tard faire des calculs de longueur dans le triangle rectangle ou alors vérifier à partir des longueurs si un triangle est rectangle ou non

Comment écrire la formule de Pythagore dans plusieurs triangles rectangles ?

si tu as compris je te propose maintenant d'aller un peu plus loin et de rajouter un petit segment dans cette figure de façon à faire apparaître deux autres triangles rectangles voilà alors en fait j'ai construit ici une hauteur la hauteur isue de \(B\) mais une hauteur est perpendiculaire au côté donc là j'ai mis un angle droit avec pour \(E\) pied de la hauteur mais du coup j'ai fabriqué quoi ici j'ai fabriqué un triangle rectangle un nouveau triangle rectangle le triangle \(BCE\) rectangle en \(E\) donc si j'ai fabriqué un triangle rectangle Pythagore il va y avoir une nouvelle formule de Pythagore qui apparaît alors cette formule on le rappelle elle dit quoi elle dit le le carré de l'hypoténuse est égal a repérons l'hypoténuse c'est toujours la première chose qu'il faut faire elle est où l'hypoténuse alors je cache ici je ne vois que ce triangle là et j'ai l'impression ici que c'est ce côté-là qui est le plus grand c'est effectivement ce côté-là qui est le plus grand on voit bien il est opposé à l'angle droit et bien \(BC\) est l'hypoténuse de mon triangle rectangle ce qui veut dire que le carré de l'hypoténuse est égal à est égal à quoi ég à la somme des carrés des deux autres côtés quels sont les deux autres côtés alors je retourne à mon triangle ça c'est l'hypoténuse et bien les deux autres côtés sont \(EB\) ici et \(EC\) et bien le carré de \(EB\) je l'écris en premier mais je peux l'écrire en deuxième ça n'a pas d'importance et le carré de \(EC\) le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés

et une nouvelle égalité de Pythagore dans le triangle rectangle \(BCE\) mais c'est pas fini parce que en ayant fait apparaître un angle droit ici par ma hauteur j'en ai en réalité également un ici et oui forcément et du coup qu'est-ce qu'il arrive bien il arrive que le triangle \(BD\) celui du dessus ici ce petit là est également un triangle rectangle je vais donc pouvoir également écrire une égalité de Pythagore alors repérons déjà l'hypoténuse hypoténuse pour ce triangle je cache l'autre pour ce triangle hypoténuse c'est ici en face de l'angle droit donc c'est \(BD\) ou \(DB\) alors on peut l'écrire \(BD\) au carré ég l'hypoténuse est égale à la somme des carrés des deux autres côtés revenons à notre triangle quels sont les deux autres côtés donc vu que c'est pas \(BD\) les deux autres c'est \(EB\) ici et \(ED\) \(EB\) et \(ED\) et bien \(EB\) \(EB^2\) plus l'autre \(ED^2\) le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés et voilà la troisième égalité de Pythagore qui apparaît dans notre construction et cette séquence est terminée