Valeur exacte et valeur approchée
Quelle est la différence entre une valeur exacte et une valeur approchée en mathématiques ?
[Musique] Bonjour. Dans cette vidéo, tu vas pouvoir comprendre la différence entre valeur exacte et valeur approchée dans un calcul. Car oui, on parle bien de ce type de valeur. Lorsqu'on résout un problème, qu'on est mené à effectuer un calcul, on trouve une réponse, un autre calcul et on peut l'exprimer sous deux formes : valeur exacte ou valeur approchée. Alors, ce que je veux préciser quand même, c'est que la plupart du temps dans l'énoncé, il est écrit clairement donner une valeur exacte ou donner une valeur approchée ou parfois donner les deux. Et d'ailleurs, quand on demande une valeur approchée, en général, on précise où on s'arrête. On va le voir. Je vais expliquer ceci en détail.
Comment calculer une valeur exacte avec le théorème de Pythagore en 4ème ?
Pour le comprendre, on va partir d'un petit problème simple où on va utiliser le théorème de Pythagore. Je précise qu'ici, je vais aller très vite sur la rédaction du théorème de Pythagore dans le but simplement là de parler de la différence donc entre valeur approchée et valeur exacte. L'objectif, le premier objectif, c'est de calculer la longueur \(AC\). Alors, Pythagore, le théorème de Pythagore nous dit bien, comme le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\), et bien le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Je vais l'écrire donc dans le triangle \(ABC\). Ça nous donne \(AC^2\) é= \(AB^2\), c'est-à-dire \(2\) au carré + \(BC^2\), c'est-à-dire \(2^2\) également. Alors, on effectue tout ça. \(2^2\) ça fait \(4 + 4\). Finalement, \(AC\) au carré est donc égal à \(8\). Alors nous ce qu'on voudrait c'est pas \(AC\) au carré, c'est \(AC\). On a vu dans le cadre du théorème de Pythagore qu'il est possible connaissant le carré de trouver la valeur qui a été élevée au carré, c'est-à-dire de trouver \(AC\). Pour cela, il suffit d'utiliser la touche racine carrée de la calculatrice et \(AC\) est égale à la \(\sqrt{\phantom{x}}\) car \(8\). Ça c'est la longueur \(AC\).
Comment savoir si le résultat d'une calculatrice est une valeur exacte ou approchée ?
Regardons avec la calculatrice ce qu'elle nous affiche. Si je tape \(\sqrt{\phantom{x}}\) carré \(8\), elle nous donne \(2,8 \ 2 \ 8 \ 4 \ 2 \ 7\) et cetera. Je vais recopier ce résultat. Voilà, c'est bien ceci que nous a donné la calculatrice. Alors maintenant, revenons à notre problème. Quelle est la valeur exacte ? Quelle est la valeur approchée de ce calcul ? Et bien là ici au tableau, j'ai écrit la valeur exacte et la valeur approchée. On croit souvent à tort que ceci c'est la valeur exacte car finalement j'ai recopié tout ce qui est écrit sur la calculatrice. J'ai recopié exactement ce qui est écrit sur la calculatrice. Mais prenons une autre calculatrice et regardons ce qu'elle affiche quand on écrit quand on tape \(\sqrt{\phantom{x}}\) car \(8\). Alors cette calculatrice, on le voit, nous donne beaucoup plus de décimal après la virgule. On n pas ici \(125\) mais on a \(124 \ 1 \ 2 \ 4 \ 7 \ 4 \ 6 \ 1 \ 9\). Alors, est-ce que c'est ça la valeur exacte finalement de notre résultat ? Et bien non, toujours pas. Tu l'as peut-être compris mais en fait on ne peut pas écrire sous forme décimale la valeur exacte car en réalité \(\sqrt{\phantom{x}}\) car \(8\) s'écrirait sous forme décimale avec une infinité de chiffres comme ça qui se suivent. Ceci sans suite logique d'ailleurs, ce qui nous permettrait pas de comprendre sous forme décimale l'écriture de ce nombre. Et bien là en réalité ici j'ai une valeur approchée. Là ici sur cette nouvelle calculatrice également une valeur approchée. Et bien ceci c'est la valeur approchée. Mais alors quelle est la valeur exacte du résultat ? Et bien la valeur exacte du résultat il est écrit juste au-dessus \(c^2 \ 8\). Ceci la valeur exacte. Et on utilise donc le symbole environ égal puisque c'est une valeur approché. On le voit bien ici. Il me manque là les décibales qui suivent et le symbole égal bien sûr puisque ça c'est une valeur exacte.
Alors ça peut être surprenant comme ça de se dire mais \(\sqrt{8}\) c'est la réponse. Et oui \(\sqrt{\phantom{x}}\) car \(8\) ici cette écriture là elle est parfaite en réalité parce que là je garde toute l'information. Si jamais j'ai à réutiliser ce nombre là, je pourrais toujours le réutiliser par la suite. D'ailleurs, on va le voir dans un autre calcul. Je ne perds pas d'information. Alors qu'ici, en donnant là une valeur approchée, et bien je perds de l'information. On le voit bien avec la première calculatrice, elle nous avait arrondi à \(125\). En réalité, ce qui vient derrière, et on voit bien là qu'il y a des décimales qui viennent derrière, ben elles sont perdues. Je ne sais pas euh je ne les connais plus. Et une fois qu'on a donné une valeur approchée, les décimales sont perdus définitivement. Alors, habituellement, on ne donne pas une valeur approché aussi précise. Habituellement, on s'arrête, on va dire, au milè, au cenè ou même au 10e. Donc, on peut très bien donner comme valeur approchée ici. Bien, ça ça serait tout à fait correct, environ \(2,828\).
Pourquoi faut-il garder la valeur exacte pour la réciproque de Pythagore ?
Ce qu'on va faire, c'est qu'on va donner une valeur approchée au 10e pour pouvoir poursuivre juste d'une question notre exercice et te prouver tout l'intérêt de garder la valeur exacte dans un exercice. On va donner donc une valeur approchée au 10e. Voilà. Donc \(2,8\) est une valeur approchée au 10e. Et maintenant, ce qu'on voudrait faire, c'est savoir si le triangle \(ACD\) est rectangle. Alors maintenant, la longueur \(AC\) est connue. On a dit que c'est \(2,8\) environ. Est-ce que donc ce triangle \(ACD\) est rectangle ? On va de nouveau utiliser la formule de Pythagore dans l'autre sens, la réciproque du théorème de Pythagore. Et pour cela, on va vérifier que le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Alors, ça nous donne quoi ? On va commencer par calculer le carré du plus grand côté, c'est-à-dire \(AD\) au carré, c'est-à-dire \(3\) au carré qui me donne \(9\). Puis je vais calculer la somme des carrés des deux autres côtés, soit \(AC\) au carré + \(CD\) au carré. \(AC\) au carré fait \(2,8\) soit \(2,8\) au carr + \(CD\) au car \(1\) au carr \(2,8\) au car + \(1\) au car on effectue ceci à la calculatrice. Voilà. et on trouve donc \(8,84\). Tiens, alors le grand côté au carré nous a donné \(9\). La somme des carrés des deux autres nous a donné \(8,84\). \(8,84\). Bien. Ben là, selon Pythagore, ça ne marche pas. peut pas ici appliquer la réciproque du théorème de Pythagore. On ne trouve pas la même chose et bien on en déduit que notre triangle \(ACD\) n'est pas rectangle. Bien. Et bien ceci c'est faux. C'est faux car en réalité ici j'ai utilisé \(2,8\) qui on le rappelle est une valeur approchée. Donc là c'est pas égal mais c'est environ égal.
Comment démontrer qu'un triangle est rectangle en utilisant des valeurs exactes en 4ème ?
C'est-à-dire que en faisant \(AC\) au carré + au carré, j'ai trouvé environ \(8,84\) mais j'ai perdu toute l'information qui venait derrière. Tu te souviens ? Car en réalité la vraie réponse ici n'est pas \(84\) mais c'est \(9\). Et on peut même le prouver. Pour cela, et bien il suffit de revenir à la valeur exacte. Je rappelle qu'on avait là \(AC\) qui est égal à exactement \(\sqrt{8}\). On voit ici d'ailleurs que \(AC^2\) est égal à \(8\). Ce qui veut dire que au lieu de mettre \(AC^2 = 2,8\) au carr, je peux tout simplement remplacer \(AC\) car par \(8\). Et oui, c'est marqué ici \(AC\) car \(8\). Et quand je fais \(8 + 1\) au car \(1\) au car ça fait \(1\) bien \(8 + 1\), ça fait \(9\). Et là, on travaille maintenant en valeur exacte. \(AC^2\) est exactement égal à \(8\). Je trouve \(AC^2 + CD^2\) exactement égal à \(9\). Et on voit bien que le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Et bien oui, notre triangle est bien rectangle en \(C\) si on ne considère pas une valeur approché mais qu'on en reste avec des valeurs exactes.
Et voilà la limite des valeurs approchées. C'est bien d'avoir une valeur approchée mais en général quand on arrive au bout de l'exercice pour avoir une idée, une approximation du résultat. Mais quand on est amené à réutiliser les valeurs, il vaut mieux rester en valeur exacte. Mais je le répète la plupart du temps dans les exercice, il est bien écrit et précisé donne une valeur exacte ou donne une valeur approchée. Et pour une valeur approchée, il est en général précisé et bien comment approcher cette valeur, à quel niveau, à quel rang doit s'arrêter. Ici, on avait donc choisi le 10e et cette séquence est terminée.
