Prouver une égalité

Comment prouver qu'une égalité est vraie pour tout x en 4ème ?

[Musique] bonjour dans cette vidéo tu vas apprendre à prouver une égalité alors qu'est-ce que cela signifie qu'est-ce que l'on souhaite faire exactement et bien là ici tu as une égalité une égalité qui comporte on le voit une inconnue \( x \) on voudrait démontrer que ceci ceci est égal à ceci pour n'importe quel nombre \( x \) que c'est toujours vrai cela signifie que euh si je remplace \( x \) là-dedans par un nombre disons \( 3 \) puis ici par \( 3 \) puis ici par \( 3 \) que j'effectue mes calculs et bien cette expression là sera bien égale à cette expression mais bon alors je pourrais le vérifier que c'est vrai pour \( 3 \) je pourrais le vérifier que c'est vrai pour \( 4 \) pour \( 5 \) pour \( 10 \) mais je ne vais pas le vérifier pour tous les nombres c'est pas possible en plus il y a les nombres décimaux il y a les nombres négatifs et cetera on n'en finirait pas tu l'as bien compris donc il va falloir le prouver autrement et pour le prouver on va utiliser des techniques d'algebre on va le voir alors

Quelle méthode utiliser pour démontrer une égalité en calcul littéral ?

déjà comment prouver que une chose est égale à une autre et bien il y a trois possibilités soit on part de cette expression là on la transforme et on arrive à cette expression là dans ce cas-là bien on aura bien prouver que celle-ci égale à celle-ci soit on fait le contraire on part de cette expression là on la transforme et on arrive à celle-ci ok 3è solution 3è méthode et bien on transforme cette expression on transforme également cette expression et on essaie d'arriver sur la même expression finale du coup si toutes les deux expressions arrivent sur la même expression et ben elles seront égales entre et bien on va utiliser cette dernière méthode pourquoi le choix d'utiliser cette dernière dernière méthode parce que quand je regarde mes expressions ici et bien je vois que je pourrais faire quelques calculs algébraque par exemple ici j'ai une petite distributivité ensuite j'auris du \( 7x \) que je vais pouvoir réduire avec du \( 2x \) donc ce qu'on va faire c'est qu'on va développer et réduire cette expression développer et réduire celle-ci chacun de leur côté et quand on aura fini on regardera sur quoi on tombe pour chacune de ces deux expressions normalement devrait tomber sur la même chose préparons ceci voilà qui est prêt donc

Comment développer et réduire une expression avec des parenthèses ?

j'ai mon expression de gauche que j'ai recopié ici je vais la Transformer j'ai mon expression de droite que j'ai noté ici je vais la Transformer objectif arrivver à la même chose de part et d'autre on va commencer par la première et on voit ici qu'on a \( 5 \) facteur de \( x - 3 \) j'ai donc ici \( 5 \) qui est en facteur je vais pouvoir développer mon expression en distribuant le \( 5 \) sur \( x \) puis sur \( -3 \) alors \( 5 \times x \) donne \( 5x \) \( 5 \times -3 \) ça me donne déjà moins quelque chose moins quoi \( 5 \times 3 \) \( 15 \) \( + 10 \) qui n'a pas servi je le recopie ég réduction alors dans la famille des \( x \) bien ça va être vite fait j'ai juste \( 5x \) pour les nombres et bien j'ai ici \( -15 \) et là j'ai \( +10 \) \( -15 + 10 \) me donne \( -5 \)

ne peut plus être réduit ici j'ai \( 5x \) \( 5 \times x \) prioritaire \( -5 \) à côté terminé j'ai développé et réduit mon expression de gauche

Comment simplifier une expression mathématique avec des x ?

attaquons maintenant l'expression de droite alors alors sur l'expression de droite j'ai là ici donc une somme derrière une petite différence j'ai là un produit ici qui forme un tout j'ai un petit \( 7 \) qui est en facteur de \( x + 1 \) je vais pouvoir développer ici pour me débarrasser des parenthèses et distribuer le \( 7 \) sur le \( x \) puis sur le \( + 1 \) pour les deux autres je les recopie \( -12 \) et \( -2x \) ne vont pas travailler pour l'instant alors distribuant ça fait quoi ça fait donc \( 7 \times x \) \( + 7x \) \( + 7 \times 1 \) bah \( 7 \times 1 \) \( 7 \) voilà j'ai donc maintenant une expression sans parenthèses euh je me suis débarrassé des parenthèses en distribuant on va pouvoir réduire alors occupons-nous d'abord des \( x \) ici j'ai un terme en \( x \) et là un terme en \( x \) j'ai donc \( 7x - 2x \) à \( 7x \) j'en enlève de des \( x \) il m'en reste \( 5 \) ensuite pour les nombres j'ai ici \( -12 \) et là j'ai \( +7 \) bah ça c'est du calcul sur les relatifs \( -12 + 7 \) donne \( -5 \) terminé j'ai développé et réduit mon expression j'arrive à

Comment conclure que deux expressions littérales sont égales ?

et tout à l'heure j'avais développé est réduite mon expression j'étais arrivé à \( 5x - 5 \) et bien on arrive sur la même expression réduite autrement dit bah vu qu'on a \( 5x - 5 \) de part et d'autre cela veut dire donc que cette expression là est égale à celle-ci on peut conclure voilà qui est noté on a donc prouvé que pour tout \( x \) \( 5 \) facteur \( x - 3 \) \( + 10 \) c'est pareil que \( -10 \) euh pardon \( -12 + 7 \) facteur de \( x + 1 \) \( - 2x \) 7ette séquence c'est Teré