Résoudre un problème à l'aide des puissances (2)

Comment calculer le nombre de bactéries qui se divisent en deux ?

[Musique] bonjour dans cette vidéo tu vas pouvoir apprendre à résoudre un problème à led de puissance alors ici on nous dit que on admet que dans les conditions normales lorsque les conditions sont favorables une bactérie se divise en deux bactéries et ensuite chacune de ces deux bactéries se divise elle même en deux nouvelles bactéries et ainsi de suite et ceux ci se déroulent toutes les 30 minutes on considère que toutes les 30 minutes nos bactéries se divise en deux la question est de savoir qu'on me convient obtiendra ton de bactéries au bout de 24 heures c'est à dire au bout d'une journée

Comment modéliser un problème de mathématiques avec un schéma ?

alors pour le comprendre on va déjà un résumé ça sur les premières divisions de bactéries à l'aide d'un schéma alors on a dit que au départ on a une bactérie ensuite après 30 minutes s'opère la division on a donc deux bactéries après une heure c'est à dire après deux fois 30 minutes chacune de ces deux bactéries se divise en deux on aura donc \(2 \times 2 = 4\) bactéries on poursuit 30 minutes plus tard on sera donc à 1h30 on poursuit la division chacune de ces bactéries se divise en deux soit \(2 \times 4 = 8\) bactéries allez un dernier tour après deux heures et bien chacune de ses huit bactéries se divise en deux soit deux fois plus de bactéries \(2 \times 8 = 16\) on est donc à 16 bactéries au bout de deux heures mais la question est de savoir au bout de 24 heures combien aura-t-on de bactéries et c'est à ça qu'il faut répondre mais là on a schématisé notre problème peut-être pas d'une manière tout à fait correct enfin c'est juste mais en tous les cas ça va pas nécessairement vraiment nous aider pour arriver à généraliser la situation est arrivé à calculer le nombre de bactéries qu'on aura après 24 heures

Comment écrire une multiplication répétée sous forme de puissance en 4ème ?

alors on pourrait poursuivre ce tableau et continuer jusqu'à 24 heures mais on comprend bien que ça serait un petit peu long alors déjà ce qu'il faut voir c'est que les calculs qui sont ici sont peut-être pas bien présenté revenons au départ au départ on avait une bactérie trente minutes plus tard on en a deux ensuite on en a \(2 \times 2 = 4\) ensuite on en a deux fois plus qu'avant c'est à dire on en aurait \(2 \times 2 \times 2\) c'est à dire je reprends les quatre bactéries d'avant qu'on avait calculé 4 mais je détaille le calcul on le calcule en écrivant \(2 \times 2\) on double puisque chacune se divise en \(2 \times 2 \times 2 \times 2\) on retrouve bien le 8 qu'on avait calculé précédemment après deux heures on a écrit si deux fois huit mais c'est en fait \(2 \times 2 \times 2 \times 2\) c'est à dire on retrouve bien ici notre \(2 \times 2 \times 2\) qui est égal à 8 et je multiplie par deux puisque chacune se divise en deux j'ai donc \(2 \times 2 \times 2 \times 2\) qui me donne bien le cese qu'on avait calculé précédemment

Comment trouver le bon exposant pour résoudre un problème avec des puissances ?

alors pourquoi on a transformé cette écriture tout simplement pour arriver à une écriture sous forme plus condensée qu'on connaît bien c'est l'écriture avec des puissances car deux fois 2 ça s'écrit tout simplement \(2^2\) \(2 \times 2 \times 2\) ses deux occupants ou \(2^3\) on peut déjà modifier ses deux écritures et on comprend bien ce qui va arriver la lune suivantes \(2 \times 2 \times 2 \times 2\) s'écrie \(2^4\) qui est bien égale à 16 et ça c'est terriblement intéressant parce qu'on sait maintenant que notre réponse va être écrit sous la forme d'une puissance de 2 en réalité là on n'a que des puissances de 2 même la première d'ailleurs deux ça s'écrit tout simplement \(2^1\) je pourrais écrire également de puissants saints et même la valeur de départ car 1 c'est égal à \(2^0\) donc on a bien là que des puissances de 2 ce qui veut dire que là au niveau de notre 24 heures eh bien on aura nécessairement deux puissances quelque chose reste juste à en déterminer l'exposant

Comment déterminer l'exposant d'une puissance dans un problème de temps ?

et pour cela il va de nouveau falloir corriger ce qu'on a schématisé ici en fait l'écriture qui est là à gauche c'est à dire du temps écoulé mais pas non plus le bon choix il faudrait l'exprimer sous forme de multiples de 30 minutes parce qu'on sait qu'il se passe à chaque fois quelque chose c'est à dire la division de nos bactéries toutes les 30 minutes donc là ici on a une fois trente minutes là on a une heure on avait dit tout à l'heure que une est en réalité deux fois trente minutes une heure trente est bien dans une heure trente il ya trois fois trente minutes et enfin dans deux heures on a quatre fois trente minutes et quand on compare maintenant les exposants avec le nombre de fois qu'on a trente minutes depuis le début de l'expérience on voit que c'est la même chose 4 et 4,3 et 3 même ici d'ailleurs on avait dit que deux ces \(2^1\) une fois trente minutes et même au départ au départ c'est le départ donc on a \(0 \times 30\) minutes de temps 0 \(2^0\) qui fait bien donc ça marche vraiment du début à la fin de l'expérience ce qui vaudrait savoir maintenant c'est dans 24 heures combien de fois j'ai trente minutes et bien ça c'est facile vu que dans une heure j'ai deux fois trente minutes il me suffit de multiplier 24 par 2 et je saurai combien de fois j'ai trente minutes dans 24 heures c'est à dire 48 48 fois trente minutes ça fait vingt-quatre heures eh bien les voilà nos 24 heures no 24 heures ses \(48 \times 30\) minutes eh bien à partir de là je peut en déduire que j'aurai \(2^{48}\) bactéries après 24 heures d'expérience

Comment écrire un très grand nombre en écriture scientifique en 4ème ?

alors maintenant on pourrait exprimer sous une autre forme \(2^{48}\) alors certainement une forme approché on va le voir parce que \(2^{48}\) c'est un nombre terriblement grand essayons avec la calculatrice et on voit qu'on trouve quelque chose de l'ordre de \(2,81 \times 10^{14}\) on va l'écrire donc c'est environ est une valeur approcher \(2,81 \times 10^{14}\) donc sous sa forme scientifique alors on sait que \(10^9\) c'est le milliard ce qui veut dire que on pourrait écrire sous cette forme \(2,81 \times 10^5 \times 10^9\) comme ça ici j'ai mes milliards \(10^9\) \(10^5\) pour compléter \(10^9 \times 10^5\) ça fait \(10^{14}\) et de cette manière là ceux ci on peut l'écrire sous la forme décimales ou même entière soit \(281 \ 000 \times 10^9\) alors bon ça c'est juste pour se faire plaisir je prolonge un petit peu enfin c'est quand même plus parlant de dire 281 milles milliards de bactéries plutôt que de dire \(2,81 \times 10^{14}\) bactéries bien que ce soit la même chose les scientifiques préféreront cette écriture dans le langage de tous les jours n'utilisent pas tous les jours le milliard quand même mais dans le langage de tous les jours on préférera 281 milles milliards de bactéries on peut conclure après 24 heures on obtient 281 milles milliards de bactéries et cette séquence est terminée