Multiplier et diviser des puissances de 10

Comment multiplier des puissances de 10 en 4ème ?

[Musique] Bonjour, dans cette vidéo, tu vas pouvoir apprendre à multiplier et diviser les puissances. On s'arrangera pour présenter le résultat sous la forme d'une seule puissance. Donc, c'est ce qui est écrit juste au-dessus. \(10^n\) ou \(10^{-n}\). On verra le moment venu ce que cela signifie précisément. Alors, on commence avec a qui est égal à \(10^4 \times 10^3\). Alors, pour cela, et bien, on dispose d'une formule qui nous dit de façon générale que

En gros, quand je multiplie 2^iss de \(10\), et bien je vais simplement additionner les exposants, les nombres qui sont en exposant. Donc ici, j'ai \(4\) et \(3\). Et bien cela signifie que tout ça va me donner 10^iss \(4 + 3\). \(4 + 3\) ça s'effectue, ça donne \(10^7\). Mais tout cela, on pourrait l'expliquer le passage de là à là. Quand j'écris \(10^4\), on se rappelle que c'est \(10 \times 10 \times 10 \times 10\). On a 4 facteurs 10. Et quand j'écris \(10^3\), c'est \(10 \times 10 \times 10\). On a cette fois-ci 3 facteurs 10. Bon bah finalement si je multiplie les deux, je me retrouve avec 1 2 3 4 5 6 7 facteur 10, c'est-à-dire du 10^iss \(7\). On a bien ici additionné les exposants tout simplement parce qu'on compte le nombre de facteurs 10. Alors ça bien sûr c'est pour comprendre dans la pratique, on nécrit pas tous ces facteurs 10. On a bien compris que on va simplement additionner les exposants lorsqu'on multiplie les puissances de 10.

Comment calculer le quotient de deux puissances de 10 ?

2e calcul \(10^5 / 10^7\). Là également on dispose d'une formule qui nous dit lorsqu'on a un quotient de 2^ de \(10^a\) sur \(10^b\), ben on va faire \(10^{a - b}\). C'est-à-dire que cette fois-ci au lieu d'additionner les exposants, on va les soustraire. Bah alors ça nous donne quoi ? Ça nous donne 10^iss A vaut \(5\), But \(7\). Donc \(5 - 7\) autrement dit \(10^{-2}\).

Mais ça aussi on peut l'expliquer parce que \(10^5\) et bien c'est 5 facteur 10 et \(10^7\) c'est 7 facteurs 10. Quand on les met l'un sur l'autre en fraction et bien on va pouvoir se débarrasser d'un facteur 10 pour un facteur 10. On ne change pas une fraction lorsqu'on multiplie ou divise par un même nombre. Donc ici, je peux enlever ces deux 10. Puis je peux faire aussi avec ces deux là et continuer à chaque fois en prenant du 1 pour 1. Voilà, il y en a plus en haut. Alors s'il y a plus rien en haut, il me reste quand même \(\times 1\) et en bas il me reste \(10 \times 10\), c'est-à-dire 10 au carré. Autrement dit, à la fin, j'ai 1^ 2. On retrouve bien ici notre \(10^{-2}\). C'est juste l'inverse, hein. On s'est passé d'un exposant positif à un exposant négatif en inversant. Voilà. Et là également dans la pratique évidemment on ne fonctionne pas comme ça, c'est trop long. On passe directement à la formule en faisant \(a - b\) au niveau de l'exposant.

Comment diviser une puissance de 10 avec un exposant négatif ?

On peut s'occuper du trème calcul. Bien, je vais proposer deux façons pour faire ce calcul. Une première façon qui va consister à s'occuper ici euh du dénominateur qui m'embête un petit peu parce que j'ai un exposant négatif. J'aimerais ramener ça un exposant positif et de cette façon, on va le voir, ça va simplifier euh énormément les calculs.

Bon, alors pour le faire et bien on va tout simplement séparer ici le numérateur. Je vais le mettre devant \(10^8\). Ce qui fait que il me reste \(1 / 10^{-5}\). On a bien \(10^8 \times 1\) qui donne \(10^8\). Donc ça ça on a bien l'égalité. Mais \(1 / 10^5\) de nouveau en appliquant la règle de l'inverse, c'est égal à \(10^5\). On peut rappeler la formule que j'ai pas rappelé tout à l'heure d'ailleurs.

donc multiplié par \(10^8\). Ça ça n'a pas bougé. J'ai \(10^8 \times 10^5\) maintenant. Et là qu'est-ce que je reconnais ? Et bien je reconnais la première formule, celle du produit de tout à l'heure qui est très simple à utiliser. Il suffit d'additionner les exposants. Ça fait \(10^{8 + 5}\) \(8 + 5\) \(13\) \(10^{13}\). Voilà, ça c'est une façon de faire.

Une autre façon de faire et de réappliquer la formule du quotient qu'on avait vu tout à l'heure avec \(10^{a - b}\). Mais attention, il y a juste une petite difficulté, un petit piège. C'est pour ça que je j'ai proposé l'autre méthode également. Si je fais \(A - b\), faut être prudent parce que c'est a \(8\) - b \(-5\). C'est pas \(8 - 5\) qu'il faut faire. Il faut faire \(8 - -5\) parce que b vaut \(-5\). \(A - b\). Et là après une fois que ça on l'a fait, bon ça ça devient assez facile. Moins moins ça donne plus, ça fait donc \(10^{8 + 5}\) et on se retrouve ici et après on a plus qu'à terminer.

Alors la deuxième méthode est un peu plus efficace. Faut juste savoir donc que cette formule, on peut l'appliquer avec les relatifs. La première formule, bon inconvénient, il faut quand même utiliser ici la formule de l'inverse. Voilà. Bien là, il y a pas de bonne méthode. La bonne méthode est celle qui te conviendra le plus. Cette séquence est terminée.