Multiplier des puissances de même base ou de même exposant

Quelles sont les formules pour multiplier des puissances en 4ème ?

Bonjour ! Dans cette vidéo, tu vas pouvoir apprendre à multiplier les puissances. Pour cela, on aura deux formules et deux seulement d'ailleurs qu'on va déjà essayer de comprendre et voir quelles sont leurs particularités pour savoir quand j'applique la première et quand j'applique la deuxième et quand d'ailleurs j'en applique aucune des deux. Ça arrive, ça arrive. On va le voir. Donc la première nous dit que \( a^m \times a^n = a^{m+n} \). Donc on voit que dans la première, je me retrouve avec une puissance de a multiplié par une puissance de a. C'est le même a c'est la même puissance. Et ça c'est essentiel pour faire fonctionner cette propriété là pour faire fonctionner cette formule.

Dans la deuxème. Alors dans la deuxème par contre j'ai \( a^n \times b^n \). Donc là, c'est plus la même puissance. Pour l'une, c'est C a pour l'une CB. Mais par contre, j'ai le même exposant n \( a^n \times b^n \) et ça va me donner quelque chose puissance n. On le verra plus en détail après dans les exemples. Donc ce qu'on remarque c'est que dans ces formules, soit j'ai la même puissance et je peux calculer, soit j'ai pas la même puissance mais j'ai le même exposant et je peux calculer. C'est soit l'un soit l'autre. Mais admettons que je n'ai pas la même puissance et pas le même exposant. Ici, j'ai A, la GB, la GM et la GN. Et bien, il n'y aura pas de formule, en tout cas pas de formule directe qui va nous permettre d'effectuer le calcul. Il y aura peut-être un moyen de s'en sortir mais ça sera pas évident et ça sera pas par une formule directe. Donc soit j'ai le même a en bas, la même puissance, soit j'ai le même exposant n en haut.

Comment multiplier deux puissances de même base ?

Allons-y pour le premier calcul. \( A = 3^4 \times 3^5 \). Laquelle des deux formules je vais utiliser ? Bien, on remarque qu'on a ici 3 et 3 en bas, c'est-à-dire qu'on a ici des puissances de 3. Et c'est bien la première formule avec les puissances de a qui nous intéressent. On va mettre ces trois d'une même couleur comme dans la formule. Et j'ai déjà mis la puissance de 3 dans la réponse parce qu'on remarque dans la formule, si on a des puissances de a qui se multiplient, on a une puissance de a dans le résultat \( a^{m+n} \). Alors reste maintenant à effectuer le \( m + n \). Et bien le \( m + n \) c'est la somme des exposants, c'est-à-dire chez nous 4 et 5. \( 4 + 5 \). Bah làà on en a fini. \( 4 + 5 \) ça fait 9. \( 3^9 \). C'est la réponse.

Donc on retient que si on a ici une même puissance et bien il suffit de faire la somme des exposants. On peut l'expliquer ça parce que \( 3^4 \) si je détaille ça fait \( 3 \times 3 \times 3 \times 3 \) 4 facteur 3. \( 3^5 \) c'est pareil avec 5 facteur 3. Voilà. Et voilà. Et qu'est-ce que je fais ? Les 4 facteurs 3, je les multiplie avec les 5 facteurs 3. Finalement, j'en ai 4 ici, 5 ici. Donc en tout, j'en ai 9. J'ai 9 facteurs 3, c'est-à-dire j'ai ici \( 3^9 \). Et bien, c'est exactement ce qu'on a trouvé avec la formule. On retrouve effectivement notre \( 3^9 \). Dans la pratique, évidemment, on fait pas comme ça, ça serait un peu long. Surtout, tu imagines si les exposants sont de l'ordre de 20 ou de 30, ça serait pas gérable.

Comment calculer avec un nombre qui n'a pas d'exposant ?

Alors le calcul B c'est \( 6^3 \times 6 \). Tiens tiens, on reconnaît ici une puissance de 6. C'est la même puissance de 6. Donc c'est à nouveau la première formule qu'il faut utiliser. Je mets en couleur et j'ai déjà préparé ma puissance de 6 dans la réponse. Et on a dit quoi ? On a dit qu'on fait la somme des exposants, soit \( 3 + \) plus rien. Ah tiens, c'est embêtant, il y a rien. En général, quand il y a rien, en mathématiques, c'est zéro. Mais attention, petite parenthèse \( 6^0 \) ça fait pas 6, ça fait 1. On sait que de façon générale \( a^0 \) fait toujours 1. Qu'est-ce qui fait 6 ? C'est \( 6^1 \) qui fait 6. Donc ici je dois rajouter un exposant, c'est certainement pas 0, c'est 1 qu'il faut mettre. Et donc le calcul que je vais faire, ça va être \( 3 + 1 \). Et donc la réponse finale, ça sera \( 6^4 \).

Comment multiplier des puissances qui ont le même exposant ?

Voilà, on peut s'attaquer au dernier calcul. \( 4^7 \times 5^7 \). Alors, on remarque ici qu'on a pas la même puissance cette fois. Là, j'ai une puissance de 4 et là, j'ai une puissance de 5. Donc, c'est pas la première formule. Si c'est la deuxième, il faudrait avoir le même exposant. 7 et 7. Parfait. J'ai le même exposant. On va donc pouvoir utiliser la deuxième formule. On met en couleur. Voilà. Donc j'ai un exposant 7 ici, un exposant 7. Dans la réponse, un exposant 7 comme dans la formule. Et ici, j'y mets quoi ? J'y mets \( a \times b \), c'est-à-dire j'y mets le produit des deux puissances. Donc j'y mets \( 4 \times 5 \).

On a quasi terminé. Reste à effectuer \( 4 \times 5 \), ça fait 20 puiss et bien voilà, on a obtenu le résultat du dernier calcul \( 20^7 \). Donc on voit bien la différence entre les deux méthodes et les deux formules. Pour la première formule, j'ai la même puissance. Je garde la même puissance et je fais la somme des exposants. Dans la deuxième, j'ai le même exposant, je garde le même exposant et je fais le produit des puissances 4 et 5. Voilà, cette séquence est terminée. Ok.