10. Vérifier qu'une matrice est inversible avec le déterminant
Pour aller plus loin : Contrôles sur ce chapitre 🎯
Contrôle Nombres complexes et Matrices - sujet 1
Chapitres: Nombres complexes - Algébrique Matrices
Contrôle Matrices - sujet 1
Chapitres: Matrices
Comment savoir si une matrice est inversible en Terminale Maths expertes ?
En spécialité Maths expertes, tu vas rencontrer plusieurs méthodes pour vérifier l'inversibilité d'une matrice. Le critère le plus direct et le plus incontournable, particulièrement pour les matrices carrées d'ordre 2, repose sur un outil mathématique très puissant : le déterminant.
La propriété fondamentale à retenir de ton cours est une double équivalence : une matrice carrée \(A\) est inversible si et seulement si son déterminant est différent de zéro (\(\det(A) \neq 0\)).
Pour justifier qu'une matrice admet un inverse, il te suffit donc de calculer ce fameux déterminant, de constater que le résultat n'est pas nul, et de conclure sur son inversibilité. Attention cependant, si ce calcul est extrêmement rapide pour une matrice composée de deux lignes et deux colonnes, il devient beaucoup plus complexe et fastidieux pour des matrices de taille 3x3 ou supérieures. Dans ces cas-là, on préférera souvent s'appuyer sur d'autres techniques, par exemple démontrer qu'en faisant le produit de la matrice avec une autre, on obtient la matrice identité.
Quelle est la formule du déterminant d'une matrice 2x2 ?
Pour une matrice carrée d'ordre 2, la méthode de calcul est très visuelle. Certains professeurs parlent de la règle du « gamma » ou du produit en croix. Si l'on prend une matrice générique de la forme :
\[A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\]La formule de son déterminant est la suivante :
\[\det(A) = ad - bc\]Prenons l'exemple traité dans la vidéo de cours pour bien comprendre. Soit la matrice :
\[M = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\]On applique la formule en multipliant les éléments de la première diagonale, et on y soustrait le produit des éléments de la seconde diagonale :
\[\det(M) = 1 \times 2 - (-1) \times 3\] \[\det(M) = 2 - (-3) = 5\]Puisque le déterminant vaut \(5\), et que ce résultat est bien différent de \(0\), on peut affirmer sans hésiter que la matrice \(M\) est inversible.
Comment calculer l'inverse d'une matrice à l'aide de son déterminant ?
Une fois que tu as vérifié que \(\det(A) \neq 0\), tu peux non seulement affirmer que la matrice est inversible, mais tu peux aussi trouver son inverse \(A^{-1}\) très facilement grâce à une formule spécifique pour l'ordre 2. Pour la matrice \(A\) définie plus haut, son inverse s'écrit :
\[A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\]Il suffit d'inverser la position des éléments sur la diagonale principale (\(a\) et \(d\)) et de changer le signe des deux autres éléments (\(b\) et \(c\)), puis de multiplier la matrice obtenue par l'inverse du déterminant.
Comment éviter les pièges classiques sur les matrices avec nos exercices ?
Pour maîtriser ce chapitre, il n'y a pas de secret : il faut s'entraîner ! Les six exercices interactifs proposés sur cette page sont conçus pour te faire progresser étape par étape, tout en esquivant les erreurs fréquentes :
- Exercices 1 et 2 : Ce sont des applications directes du cours. Tu vas devoir calculer des déterminants simples pour vérifier si des matrices données sont inversibles. L'objectif est d'automatiser le calcul \(ad-bc\) en faisant très attention aux signes négatifs !
- Exercice 3 : On ajoute une petite difficulté. Une matrice contient une inconnue \(x\). Tu devras poser et résoudre une équation pour trouver la valeur exacte de \(x\) qui rend la matrice non inversible (c'est-à-dire la valeur pour laquelle le déterminant s'annule).
- Exercice 4 : Tu vas utiliser la formule détaillée plus haut pour calculer concrètement l'inverse d'une matrice. Prends soin de bien distribuer ta fraction sur tous les coefficients de la matrice finale.
- Exercice 5 : Cet exercice teste ta connaissance des propriétés algébriques du déterminant, comme \(\det(AB)\) ou \(\det(A^T)\). Attention au grand piège classique à la question 2 : multiplier une matrice de taille 2x2 par un réel (ici \(5\)) a un impact particulier sur son déterminant. Rappelle-toi que, dans ce cas, tu multiplies deux lignes par ce même réel...
- Exercice 6 : Un excellent problème de synthèse. Tu vas devoir déterminer deux inconnues \(a\) et \(b\) pour qu'une matrice soit égale à son propre inverse (\(A = A^{-1}\)). Cela te demandera de poser un petit système d'équations.
À toi de jouer ! Prends un brouillon, calcule avec rigueur et deviens un véritable champion des matrices.
