2. Remplir les coefficients d'une matrice

Comment comprendre la notation des coefficients d'une matrice en Maths expertes ?

Quand tu découvres le chapitre sur les matrices en spécialité Maths expertes en Terminale, la première étape est de bien comprendre les notations de l'énoncé. Si l'on te donne une matrice définie par \(M=(m_{i,j})\), rappelle-toi toujours que la lettre \(i\) correspond au numéro de la ligne, et la lettre \(j\) au numéro de la colonne. Tes coordonnées sont toujours données dans cet ordre : \((ligne, colonne)\).

Dans beaucoup d'exercices, tu verras des intervalles écrits avec des doubles crochets, comme par exemple \((i,j) \in [\![1; 3]\!]^2\). Qu'est-ce que cela signifie ? Les doubles crochets t'indiquent que tu travailles exclusivement avec des entiers naturels. Le carré en exposant signifie que \(i\) et \(j\) vont tous les deux puiser leurs valeurs dans ce même intervalle. Tes indices \(i\) et \(j\) prendront donc les valeurs 1, 2 ou 3. La conséquence directe de cette notation est que ta matrice possèdera 3 lignes et 3 colonnes : on parle alors d'une matrice carrée de format \(3 \times 3\).

Quelle est la méthode pour calculer les termes d'une matrice avec une formule ?

La méthode est très systématique : il te suffit de remplacer \(i\) et \(j\) par leurs valeurs respectives dans la formule donnée par l'énoncé. Reprenons l'exemple détaillé dans la vidéo de cours, où le terme général est défini par la formule \(m_{i,j} = i^2 + j\).

Calculons pas à pas la première ligne, où la valeur de la ligne est \(i = 1\) :

• Pour la première colonne (\(j = 1\)) : \(m_{1,1} = 1^2 + 1 = 2\).
• Pour la deuxième colonne (\(j = 2\)) : \(m_{1,2} = 1^2 + 2 = 3\).
• Pour la troisième colonne (\(j = 3\)) : \(m_{1,3} = 1^2 + 3 = 4\).

Ensuite, on passe à la deuxième ligne avec \(i = 2\) : le premier terme de cette ligne sera \(m_{2,1} = 2^2 + 1 = 5\), le suivant sur la deuxième colonne sera \(m_{2,2} = 2^2 + 2 = 6\), puis \(m_{2,3} = 2^2 + 3 = 7\). On procède de la même manière pour la troisième ligne (\(i = 3\)) et on trouve successivement 10, 11 et 12.

Une fois tes 9 calculs effectués, tu as rempli l'intégralité de ta matrice et tu peux l'écrire sous sa forme globale :

Prends le temps de faire ces petits calculs mentaux à ton rythme pour habituer ton cerveau à associer \(i\) et \(j\) aux bonnes positions dans le tableau.

Comment éviter les pièges de nos exercices sur les matrices en Terminale ?

Les 6 exercices interactifs présents sur cette page sont conçus pour te faire pratiquer différents cas de figure. Voici un aperçu de ce que tu vas y travailler et des pièges classiques à anticiper :

• Gérer des dimensions asymétriques : Tu ne croiseras pas que des matrices carrées. Les exercices te feront construire des matrices de format \(4 \times 2\) (4 lignes, 2 colonnes) ou \(3 \times 4\). Attention à ne pas inverser tes bornes ! Regarde toujours attentivement la taille demandée avant de te lancer dans les calculs.
• Maîtriser les formules complexes : Tu vas devoir manipuler des puissances comme \(j^i\) (fais très attention à ne pas inverser la base et l'exposant), des valeurs absolues \(|i-j|\), ou encore des signes alternés avec \((-1)^{i+j}\). Reste concentré sur tes règles de priorité des opérations et sur la parité de tes exposants.
• Résoudre le problème inverse : L'un des exercices te donne la matrice numérique déjà remplie et te demande de retrouver la formule qui a généré ses coefficients. L'astuce infaillible ? Teste les formules proposées sur plusieurs coefficients différents (pas seulement le premier !) pour éliminer les mauvaises réponses avec certitude.
• Calculer un coefficient isolé : Parfois, on te demandera d'appliquer une formule sur une très grande matrice (par exemple \(9 \times 9\)) pour trouver la valeur d'un unique coefficient précis, tel que \(e_{5,9}\). Inutile de calculer toute la grille : il te suffit d'appliquer rigoureusement la formule en remplaçant \(i\) par 5 et \(j\) par 9.

Tu as maintenant toutes les clés en main pour réussir. À toi de jouer, lance-toi et vérifie tes calculs directement en remplissant les champs de nos exercices interactifs !