4. Comment multiplier une matrice par un réel

Comment multiplier une matrice par un réel en Maths expertes ?

La multiplication d'une matrice par un nombre réel (souvent appelé un « scalaire », par exemple \(3\), \(-4\), \(\pi\) ou \(-\frac{1}{4}\)) est sans doute l'une des opérations les plus accessibles du chapitre sur les matrices en Terminale. Si tu sais déjà additionner deux matrices entre elles, cette nouvelle étape ne te posera aucun problème.

Le principe est exactement le même que lorsque tu multiplies un vecteur par un réel en géométrie. Rappelle-toi : si tu as un vecteur \( \vec{u} \) de coordonnées \( \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} \), alors le vecteur \( 3\vec{u} \) aura pour coordonnées \( \begin{pmatrix} 9 \\ -6 \end{pmatrix} \). Tu as simplement multiplié chaque coordonnée par \(3\).

Pour les matrices, la règle est identique : pour multiplier une matrice par un réel, il suffit de multiplier chacun des coefficients de cette matrice par ce réel. C'est aussi simple que cela !

Quelle est la méthode pour calculer une combinaison linéaire de matrices ?

En option Maths expertes, on te demandera très souvent de calculer des expressions combinant des multiplications par un réel et des additions (ou soustractions) de matrices. Voyons ensemble l'exemple détaillé dans la vidéo de cours.

Imaginons que l'on veuille calculer l'expression \( A + {3}B \) avec les deux matrices suivantes :

Étape 1 : Gérer la multiplication par le réel.
Avant de faire l'addition, tu dois d'abord calculer la matrice \( {3}B \). Pour cela, on distribue le \(3\) sur tous les coefficients de la matrice \( B \) :

Étape 2 : Additionner les matrices.
Maintenant que le réel est intégré, il ne te reste plus qu'à effectuer l'addition classique \( A + {3}B \). On associe chaque élément avec celui qui se trouve exactement à la même position en face : le premier avec le premier, le deuxième avec le deuxième, etc.

Et voilà, l'affaire est dans le sac !

Comment réussir les exercices sur la multiplication par un scalaire en Terminale ?

Pour devenir un vrai champion, la page interactive ci-dessus te propose 6 exercices corrigés pour t'entraîner. Ils sont conçus pour te faire progresser étape par étape, en évitant les pièges classiques.

• Exercices 1, 2 et 3 : Il s'agit de calculs directs de combinaisons linéaires du type \( {a}A + {b}B \) ou \( {a}A - {b}B \). Le piège principal ici réside dans les erreurs de signe, surtout quand tu soustrais une matrice ou que tu multiplies par un nombre négatif. L'exercice 3 corse un peu les choses en te faisant manipuler des fractions (\(\frac{2}{3}\) et \(\frac{1}{4}\)). Prends ton temps pour mettre au même dénominateur lors de l'addition finale !
• Exercice 4 : Le raisonnement est inversé. On te donne le résultat final (la matrice \( C \)) et tu dois retrouver les réels \( x \) et \( y \) qui ont permis de l'obtenir via l'équation \( xA + yB = C \). L'astuce est de traduire cette égalité matricielle en un système d'équations linéaires en identifiant les coefficients un par un.
• Exercices 5 et 6 : Ce sont des résolutions d'équations matricielles où l'inconnue est une matrice complète \( X \). Le grand piège est de vouloir remplacer les matrices \( A \) et \( B \) par leurs valeurs numériques dès le début, ce qui donne des calculs illisibles. La bonne méthode ? Isole d'abord littéralement la matrice \( X \) ! Par exemple, utilise la distributivité pour développer \( {3}(X-A) \), regroupe tous les termes contenant \( X \) d'un côté de l'égalité, factorise, puis divise par le scalaire correspondant avant de passer à l'application numérique.

À toi de jouer pour valider tes acquis sur ce chapitre incontournable de Terminale ! Remplis les champs de réponse et vérifie tes résultats.