5. Comment multiplier des matrices

Comment multiplier des matrices en Terminale Maths expertes ?

Pour multiplier deux matrices entre elles, la méthode la plus visuelle et efficace consiste à bien les positionner sur ta feuille. Contrairement aux nombres classiques, on ne les écrit pas simplement côte à côte. L'astuce est de placer la matrice de gauche en bas, et la matrice de droite juste au-dessus, légèrement décalée. Ensuite, tu traces une petite grille pour bien visualiser les intersections.

Pour calculer le nombre qui se trouve à une intersection, tu vas devoir utiliser les coefficients situés sur la ligne de la matrice de gauche et ceux sur la colonne de la matrice du haut. Tu multiplies ces nombres deux à deux en avançant, puis tu additionnes les résultats.

Prenons l'exemple détaillé dans la vidéo avec la matrice \( A = \begin{pmatrix} {21} & {1} \\ {0} & {0{,}5} \end{pmatrix} \) et la matrice \( B = \begin{pmatrix} {1} & {-1} \\ {3} & {0} \end{pmatrix} \).

Pour calculer \( A \times B \), on place \( A \) à gauche et \( B \) en haut :

• Pour le premier nombre (en haut à gauche) : on croise la 1ère ligne de \( A \) et la 1ère colonne de \( B \). On avance sur les deux chemins : \( 21 \times 1 + 1 \times 3 = 21 + 3 = 24 \).
• Pour le nombre en haut à droite : on croise la 1ère ligne de \( A \) et la 2ème colonne de \( B \). Le calcul est \( 21 \times (-1) + 1 \times 0 = -21 \).
• Pour le nombre en bas à gauche : on croise la 2ème ligne de \( A \) et la 1ère colonne de \( B \). On obtient \( 0 \times 1 + 0{,}5 \times 3 = 1{,}5 \).
• Pour le nombre en bas à droite : on croise la 2ème ligne de \( A \) et la 2ème colonne de \( B \). Cela donne \( 0 \times (-1) + 0{,}5 \times 0 = 0 \).

Le résultat final de notre multiplication est donc :

Comment savoir si \( A \times B = B \times A \) en calcul matriciel ?

C'est une question fondamentale et c'est le plus grand piège dans lequel tombent les élèves ! En algèbre classique avec des nombres réels, on sait que \( 3 \times 2 = 2 \times 3 \). Cette propriété très pratique s'appelle la commutativité. Mais attention, avec les matrices, cette règle ne s'applique pas !

En règle générale, le produit \( A \times B \) n'a absolument rien à voir avec \( B \times A \). Vérifions-le en reprenant nos matrices précédentes pour calculer cette fois-ci \( B \times A \) :

En appliquant exactement la même méthode de la grille, on obtient :

Comme tu peux le constater, les deux matrices résultantes sont totalement différentes. Il faut donc toujours respecter scrupuleusement l'ordre des matrices de départ lorsque tu effectues un produit.

Comment bien réussir les exercices sur le produit de matrices ?

Maintenant que tu as compris le principe, il est temps de passer à l'action. Le calcul matriciel exige de la rigueur. Les 6 exercices interactifs de cette page sont conçus pour te faire progresser et éviter les erreurs classiques :

• Exercices 1 et 2 : Tu vas automatiser la mécanique de base avec des matrices carrées, mais aussi avec une matrice ligne et une matrice colonne. Le piège ici est de s'emmêler les pinceaux dans le sens de lecture : rappelle-toi qu'on lit toujours la ligne pour la première matrice, et la colonne pour la seconde. Le produit d'une ligne par une colonne donne un simple nombre réel.
• Exercice 3 : C'est l'application directe du cours sur la non-commutativité. Tu devras calculer \( AB \) puis \( BA \) pour prouver que les résultats diffèrent.
• Exercices 4, 5 et 6 : On monte d'un cran. Tu vas devoir résoudre des équations où des inconnues \( x \) et \( y \) se cachent dans les coefficients des matrices. Attention au piège redoutable de l'exercice 5 : la notation \( A^2 \) signifie bien \( A \times A \). Il ne faut surtout pas élever chaque coefficient de la matrice au carré, mais bien poser la multiplication complète avec la méthode de la grille ! Une fois le calcul fait, il te suffira d'identifier les coefficients pour trouver les valeurs de tes inconnues.