7. Comment transposer une matrice

Comment transposer une matrice en Maths expertes ?

En classe de Terminale, tu vas rencontrer une nouvelle opération fondamentale sur les tableaux de nombres : la transposition. La transposée d'une matrice \(A\), que l'on note généralement \(A^T\) (avec un "T" majuscule en exposant), s'obtient de façon très visuelle et mécanique.

La règle d'or, expliquée dans la vidéo, est extrêmement simple : on transforme chaque ligne de la matrice de départ en colonne. Ainsi, la première ligne devient la première colonne, la deuxième ligne devient la deuxième colonne, et la troisième ligne devient la troisième colonne. Plus formellement, le coefficient situé à la ligne \(i\) et à la colonne \(j\) se retrouve à la ligne \(j\) et à la colonne \(i\) dans la matrice transposée.

Géométriquement, cela revient à effectuer une symétrie par rapport à la diagonale principale de la matrice (celle qui descend de gauche à droite). Regardons l'exemple détaillé dans le cours avec la matrice \(A\) suivante :

Pour construire sa transposée \(A^T\), on isole la première ligne de \(A\), composée de \(1\), \(7\) et \(8\), et on l'écrit verticalement pour former la première colonne. On répète cette opération pour les deux autres lignes, ce qui nous donne :

Maîtriser cette technique te sera indispensable pour la suite du programme, notamment lorsqu'il s'agira de calculer des matrices inverses ou d'étudier des graphes !

Quelle est la formule des dimensions d'une matrice transposée ?

L'exemple de la vidéo utilise une matrice carrée, mais tu dois savoir transposer n'importe quel format de matrice. Que se passe-t-il si la matrice est rectangulaire ?

Puisque le principe est d'échanger les lignes et les colonnes, les dimensions de la matrice s'inversent logiquement. Si tu possèdes une matrice \(A\) de format \(m \times n\) (c'est-à-dire \(m\) lignes et \(n\) colonnes), alors sa transposée \(A^T\) sera de format \(n \times m\).

C'est particulièrement flagrant avec les vecteurs. Un vecteur colonne (qui est une matrice avec une unique colonne) deviendra automatiquement un vecteur ligne (une matrice avec une unique ligne) une fois transposé. De plus, si l'on transpose deux fois de suite une même matrice, on retombe toujours sur la matrice de départ : \((A^T)^T = A\).

Comment savoir si une matrice est symétrique en Terminale ?

Une notion incontournable de l'option Maths expertes est celle de matrice symétrique. Par définition, une matrice carrée \(S\) est dite symétrique si et seulement si elle est parfaitement égale à sa propre transposée, ce qui s'écrit mathématiquement : \(S^T = S\).

Concrètement, si tu observes la matrice, cela signifie que les coefficients situés de part et d'autre de la diagonale principale fonctionnent comme le reflet exact l'un de l'autre dans un miroir. C'est une propriété que tu croiseras très souvent en travaillant sur les matrices d'adjacence des graphes non orientés.

Comment réussir les exercices sur la transposée de matrice ?

Pour consolider cette notion, la page te propose 6 exercices interactifs. Voici ce que tu vas y travailler et les pièges classiques à éviter pour faire un sans-faute :

• Exercices 1 et 2 : Tu vas t'entraîner à transposer une matrice carrée puis une matrice rectangulaire, en précisant le nouveau format obtenu. Prends garde à ne pas t'emmêler les pinceaux entre les lignes et les colonnes lors de la saisie de tes réponses !
• Exercice 3 : Il te demande de construire une matrice à partir de la formule \(a_{i,j} = 3ij\) avant de la transposer. Le piège ici est de confondre l'indice de ligne \(i\) et l'indice de colonne \(j\) au moment de calculer tes valeurs initiales.
• Exercice 4 : C'est une application directe du cours sur la symétrie matricielle. Tu dois compléter les trous d'une matrice pour que \(S^T = S\). Repère bien la diagonale principale pour déduire visuellement les nombres manquants.
• Exercice 5 : Cet exercice te fait manipuler l'opération sur un vecteur colonne \(V\). L'objectif est d'observer ce qu'il se passe quand on enchaîne deux transpositions successives.
• Exercice 6 : Un excellent défi qui mêle produit matriciel et transposition ! Tu devras calculer \(AB\) puis \(B^T A^T\). Prends ton temps pour les multiplications. Même si le cours ne le dévoile pas encore, observe bien les deux résultats : cela illustre une propriété remarquable qui relie le produit et la transposée.