8. La matrice identité

Qu'est-ce que la matrice identité en Maths expertes ?

Dans le chapitre sur les matrices en Terminale, tu vas très vite faire la connaissance d'une matrice particulière appelée la matrice identité. Elle est généralement notée \(I\) ou \(I_n\), où \(n\) représente la dimension de la matrice. Sa définition est très simple : il s'agit d'une matrice carrée (qui possède autant de lignes que de colonnes) remplie de 0, à l'exception de sa diagonale principale qui est uniquement composée de 1.

Par exemple, si on te demande d'écrire la matrice identité de taille 3, notée \(I_3\), tu obtiens le résultat suivant :

C'est une structure symétrique très visuelle que tu apprendras à reconnaître du premier coup d'œil.

Comment multiplier une matrice par la matrice identité en Terminale ?

La vidéo de cours détaille pas à pas comment effectuer le produit d'une matrice \(A\) par la fameuse matrice identité. Prenons un exemple numérique complet issu de la vidéo, avec une matrice \(A\) de dimension \(3 \times 3\) :

Si tu calcules \(A \times I_3\), la règle classique de multiplication des matrices s'applique : tu dois multiplier les lignes de \(A\) par les colonnes de \(I_3\). Détaillons le calcul pour la toute première ligne :

• Pour le premier coefficient : \(1 \times 1 + 7 \times 0 + 8 \times 0 = 1\)
• Pour le deuxième coefficient : \(1 \times 0 + 7 \times 1 + 8 \times 0 = 7\)
• Pour le troisième coefficient : \(1 \times 0 + 7 \times 0 + 8 \times 1 = 8\)

Tu constates que la première ligne du résultat est \((1 \quad 7 \quad 8)\), soit très exactement la première ligne de la matrice \(A\). En poursuivant les multiplications sur la deuxième puis la troisième ligne, on retrouve \(4, 2, 9\) puis \(6, 5, 3\). Le constat est sans appel : multiplier par la matrice identité laisse la matrice de départ totalement inchangée. Tu dois absolument mémoriser cette formule essentielle : \(A \times I = A\).

À quoi sert la matrice identité dans les calculs matriciels ?

Tu pourrais te demander quel est l'intérêt d'une matrice qui ne modifie rien lors d'une multiplication. En réalité, la matrice identité joue exactement le même rôle dans le monde des matrices que le nombre 1 dans les multiplications de nombres réels (tout comme \(5 \times 1 = 5\)). Bien que cela puisse paraître anecdotique à ce stade, cette matrice joue un rôle central, tout particulièrement dans les problèmes d'inversibilité que tu découvriras dans la suite du programme de Maths expertes. Sans elle, il serait tout simplement impossible de définir l'inverse d'une matrice !

Comment réussir les exercices sur la matrice identité ?

Pour t'entraîner concrètement, cette page te propose 6 exercices interactifs progressifs. Voici ce que tu vas y travailler et les pièges classiques à éviter :

• L'écriture et les dimensions : L'exercice 1 valide ta capacité à écrire \(I_n\). L'exercice 3 va plus loin en te faisant multiplier \(I_3\) par une matrice \(A\) de format \(3 \times 2\). Le grand piège ici est la gestion du format : prends le temps de bien vérifier la taille de ta matrice résultat.
• La multiplication basique : L'exercice 2 te fait calculer \(A \times I_2\). L'objectif est d'automatiser tes calculs et de vérifier par toi-même que la règle \(A \times I = A\) fonctionne.
• L'ordre de multiplication : L'exercice 5 s'intéresse à une propriété majeure. Tu vas calculer \(H \times A\) puis \(A \times H\) (où \(H\) est proportionnelle à \(I_2\)). Tu vérifieras si l'ordre des matrices modifie ou non le produit final.
• Les opérations combinées et polynômes : Les exercices 4 et 6 sont d'excellents entraînements typiques du baccalauréat. Tu devras calculer des expressions combinées comme \(A - 3I_2\) ou le polynôme \(A^2 - 2A - 3I_2\). L'erreur fréquente des élèves est d'oublier que soustraire \(3I_2\) revient à soustraire 3 uniquement sur la diagonale, et 0 partout ailleurs. Avance toujours par étapes : calcule les puissances, puis les multiplications par des réels, et termine par les additions.

Prends une feuille de brouillon pour tracer tes traits de multiplication, et à toi de jouer !