21. Montrer qu'une fraction est irréductible

Comment montrer qu'une fraction est irréductible en Terminale Maths expertes ?

En spécialité Maths expertes, un exercice très classique d'Arithmétique consiste à étudier une fraction dont le numérateur et le dénominateur dépendent d'un entier naturel \(n\). Pour prouver qu'une telle fraction est irréductible, il faut revenir à la définition fondamentale : son numérateur et son dénominateur doivent être premiers entre eux. Autrement dit, il faut démontrer que leur plus grand commun diviseur (PGCD) est strictement égal à 1.

Tout l'enjeu de ce type d'exercice est de réussir à calculer ce fameux PGCD. Face à des expressions littérales contenant du \(n\), la stratégie principale consiste à trouver une astuce algébrique (souvent une combinaison linéaire ou une division euclidienne) qui permet de faire disparaître totalement la variable \(n\) pour se ramener à un nombre constant.

Quelle est la formule pour se débarrasser du \(n\) dans le PGCD ?

Pour éliminer la variable \(n\), on s'appuie sur une propriété essentielle du cours sur le PGCD : le plus grand commun diviseur de deux nombres \(a\) et \(b\) reste inchangé si l'on remplace \(a\) par \(a - k \times b\) (où \(k\) est un entier). Cela revient à dire que \(\text{PGCD}(a ; b) = \text{PGCD}(b ; r)\), où \(r\) est le reste de la division euclidienne.

Prenons l'exemple détaillé dans la vidéo avec la fraction \(\dfrac{ {3}n+{18} }{n+{5} }\). Notre but est de vérifier la condition suivante :

Pour éliminer le terme en \({3}n\), il suffit de retrancher trois fois le dénominateur au numérateur :

En appliquant notre propriété des combinaisons linéaires, le calcul se simplifie drastiquement :

Nous avons réussi à isoler une constante ! Les seuls diviseurs positifs de 3 étant 1 et 3, le PGCD ne peut valoir que 1 ou 3. Pour que la fraction soit irréductible, il faut absolument éviter que le PGCD soit égal à 3. Par conséquent, le nombre \(n+{5}\) ne doit surtout pas être un multiple de 3.

Comment savoir si la fraction est irréductible grâce aux congruences ?

Une fois le PGCD ramené à une constante, l'utilisation des congruences permet de déterminer exactement pour quelles valeurs de \(n\) la fraction est irréductible. Dans notre exemple, on veut empêcher que \(n+{5}\) soit divisible par 3. Mathématiquement, cela se traduit par :

On résout cette inéquation modulaire en basculant le 5 de l'autre côté, exactement comme dans une équation classique :

Puisque \(-{5} = -{2} \times {3} + {1}\), on sait que \(-{5} \equiv {1} \pmod{3}\). (Attention à ne pas faire d'erreur de signe ici, une erreur courante a d'ailleurs été corrigée par rapport à la vidéo !). La condition finale devient :

Pour que la fraction soit irréductible, l'entier \(n\) ne doit pas avoir un reste de 1 dans la division par 3. Il doit donc être congru à 0 ou à 2 modulo 3. Sous forme algébrique, cela signifie que \(n = {3}k\) ou \(n = {3}k+{2}\) (avec \(k\) un entier naturel).

Quels sont les pièges à éviter dans nos exercices interactifs ?

Sur cette page, tu trouveras 6 exercices interactifs pour t'entraîner. Voici ce que tu vas travailler concrètement :

• Des combinaisons linéaires simples : Sur des fractions de degré 1 comme \(\dfrac{ {2}n+{9} }{n+{2} }\), tu devras multiplier le dénominateur par la bonne constante pour annuler les \(n\).
• Des divisions euclidiennes de polynômes : L'exercice 6 augmente la difficulté avec un numérateur de degré 2 de type \(n^2+{4}n+{11}\). Une simple soustraction ne suffira plus : tu devras effectuer la division euclidienne par \(n+{2}\) pour trouver le reste constant.
• Le passage du PGCD aux congruences : Tu devras toujours traduire ta constante par une équation modulaire pour conclure sur les valeurs de \(n\).

Fais très attention au piège classique de l'énoncé : prends bien le temps de lire si l'exercice te demande quand la fraction est irréductible (le PGCD doit valoir 1) ou quand elle est réductible (le PGCD est strictement supérieur à 1). L'inattention sur ce vocabulaire est la première cause d'erreur, car elle inverse complètement la solution modulo que tu devras taper dans les champs de réponse !