15. Trouver le chiffre des unités avec les congruences

Comment trouver le chiffre des unités avec les congruences en Terminale ?

Pour trouver le chiffre des unités d'un nombre, l'astuce fondamentale est de le relier à une division euclidienne. Prenons un exemple simple : 1995. Si tu divises 1995 par 10, il y va 199 fois et il reste 5. Quel que soit le nombre de départ, le reste de sa division par 10 correspond toujours à son dernier chiffre.

En arithmétique, on traduit cela avec les congruences. Chercher le chiffre des unités d'un grand nombre, c'est exactement chercher à quoi ce nombre est congru modulo 10. Face à une immense puissance que ta calculatrice ne peut pas afficher, toute la stratégie consiste donc à simplifier l'expression modulo 10.

Quelle est la méthode pour calculer une grande puissance modulo 10 en Maths expertes ?

Imaginons que tu doives trouver le chiffre des unités de \(3^{237}\). La méthode consiste à avancer étape par étape pour trouver un cycle.

Étape 1 : Trouver la puissance qui donne 1.
On calcule les premières puissances de 3 modulo 10, jusqu'à tomber sur 1. Pourquoi 1 ? Parce que 1 élevé à n'importe quelle puissance donnera toujours 1 !

• \(3^1 \equiv 3 \ [10]\)
• \(3^2 = 9 \equiv -1 \ [10]\) (intéressant, mais on cherche 1)
• \(3^3 = 27 \equiv 7 \ [10]\)
• \(3^4 = 81 \equiv 1 \ [10]\)

On a notre clé : \(3^4 \equiv 1 \ [10]\).

Étape 2 : Décomposer le grand exposant.
Maintenant, on regarde notre exposant 237. On va chercher combien de fois on peut y « rentrer » notre puissance 4. Pour cela, on fait la division euclidienne de 237 par 4 :

Étape 3 : Appliquer les propriétés des congruences.
Il ne reste plus qu'à reconstruire \(3^{237}\) en utilisant notre décomposition :

On élève le tout à la puissance 59 :

Enfin, pour passer de 236 à 237, on multiplie par 3 des deux côtés :

Conclusion : le chiffre des unités de \(3^{237}\) est 3 !

Comment s'entraîner efficacement et éviter les pièges classiques aux contrôles ?

Les 6 exercices interactifs de cette page sont conçus pour te faire pratiquer cette méthode, mais aussi pour te confronter aux pièges classiques du programme de Maths expertes.

Dans l'exercice 1, tu vas appliquer la méthode standard vue en vidéo, pas à pas. C'est idéal pour vérifier que tu as bien compris le mécanisme du cycle des puissances.

Les exercices 2 et 3 te confrontent à une subtilité majeure. Que se passe-t-il si la base est paire (comme 2 ou 4) ? Tu ne trouveras jamais de puissance congrue à 1 modulo 10 ! L'exercice 2 t'apprend donc une méthode alternative : repérer une période qui se répète dans les restes. Tu verras aussi que certaines bases, comme 4 ou 9, ont des cycles très courts qui simplifient grandement les calculs.

L'exercice 5 change de modulo. On ne cherche plus le chiffre des unités, mais le reste d'une division par 5. Le piège classique ici est d'oublier de réduire la base en premier. Avant de s'attaquer à l'exposant, il faut toujours regarder à quoi la base (ici 2229) est congrue !

Enfin, les exercices 4 et 6 mélangent tout : des sommes et des produits de grandes puissances. La clé de la réussite sera la rigueur. Tu devras calculer le chiffre des unités de chaque terme séparément, puis respecter l'ordre des opérations (la multiplication est prioritaire sur l'addition) tout en restant modulo 10 pour le calcul final. À toi de jouer !