17. Trouver le pgcd de deux nombres en décomposant

Comment trouver le PGCD avec la décomposition en facteurs premiers en Terminale ?

En spécialité Maths expertes, la recherche du Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) est une compétence incontournable en arithmétique. La méthode la plus systématique pour trouver le PGCD de deux nombres entiers consiste à utiliser leur décomposition en produit de facteurs premiers. Le théorème fondamental de l'arithmétique nous assure que cette décomposition existe et qu'elle est unique.

Pour commencer, tu dois diviser chaque nombre par les nombres premiers successifs (\(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17\dots\)) jusqu'à obtenir un quotient égal à \(1\). Voyons l'exemple abordé dans la vidéo avec \(306\) et \(758\) :

• Pour \(306\) : on divise par \(2\) pour obtenir \(153\). On divise ensuite par \(3\) pour trouver \(51\), puis encore par \(3\) pour obtenir \(17\). Comme \(17\) est un nombre premier, on le divise par \(17\) pour terminer. La décomposition est donc \(306 = 2 \times 3^2 \times 17\).
• Pour \(758\) : on divise par \(2\), ce qui donne \(379\). En testant les nombres premiers suivants, on se rend compte que \(379\) n'est divisible par aucun d'entre eux : il est lui-même premier ! La décomposition est simplement \(758 = 2 \times 379\).

Quelle est la règle pour calculer le PGCD à partir des puissances ?

Une fois tes deux nombres décomposés, la règle pour extraire le PGCD est redoutablement efficace. Tu dois identifier tous les facteurs premiers que les deux nombres ont en commun. Ensuite, pour chacun de ces facteurs communs, tu ne conserves que la plus petite puissance (le plus petit exposant).

Dans notre premier exemple, le seul facteur commun entre \(306\) et \(758\) est \(2\). Le PGCD de \(306\) et \(758\) est donc tout simplement \(2\).

Prenons le deuxième exemple de la vidéo, avec des nombres plus massifs déjà décomposés :

On applique la règle du plus petit exposant étape par étape :

• Les facteurs premiers en commun sont \(2, 3\) et \(5\). Le facteur \(7\) n'est présent que dans \(A\), on l'ignore pour le PGCD.
• Pour le facteur \(2\), on compare les puissances \(2^2\) et \(2^1\). On garde la plus petite : \(2^1\).
• Pour le facteur \(3\), l'exposant est le même des deux côtés. On garde \(3^3\).
• Pour le facteur \(5\), on compare \(5^1\) et \(5^3\). On garde \(5^1\).

Le PGCD est le produit de ces résultats : \(\text{PGCD}(A;B) = 2^1 \times 3^3 \times 5^1 = 2 \times 27 \times 5 = 270\).

Comment savoir si mes calculs de PGCD et PPCM sont corrects en Maths expertes ?

Le PGCD contient en lui-même une mine d'informations. Savais-tu que l'ensemble des diviseurs communs à deux entiers correspond très exactement à l'ensemble des diviseurs de leur PGCD ? Si un exercice te demande tous les diviseurs communs, calcule le PGCD et liste simplement ses diviseurs.

À l'inverse, si tu as besoin du Plus Petit Commun Multiple (PPCM), la logique des exposants s'inverse. Tu dois prendre tous les facteurs premiers présents (communs ou non), et choisir pour chacun la plus grande puissance. Une formule fondamentale te permet de vérifier tes résultats : \(\text{PGCD}(A;B) \times \text{PPCM}(A;B) = A \times B\).

Quels sont les pièges classiques des exercices interactifs ?

Les \(6\) exercices interactifs de cette page vont te faire travailler toutes les compétences clés de ce chapitre. Voici ce qui t'attend et les pièges à esquiver :

• Exercices 1 et 2 : Application directe de la règle du minimum sur les exposants. Attention aux puissances nulles ! Rappelle-toi que \(5^0 = 1\), ce qui signifie concrètement que le facteur \(5\) est absent de la décomposition. Ne te laisse pas piéger au moment de choisir les facteurs communs.
• Exercices 3 et 4 : Tu vas explorer le lien entre PGCD, PPCM et diviseurs communs. Veille à ne pas inverser les règles : le PGCD prend les plus petites puissances des facteurs communs, tandis que le PPCM prend les plus grandes puissances de tous les facteurs.
• Exercices 5 et 6 : Ce sont les problèmes classiques de recherche d'entiers, très fréquents au bac ! Tu devras trouver deux nombres \(a\) et \(b\) à partir de leur PGCD et d'une condition supplémentaire. Le bon réflexe est d'écrire systématiquement \(a = d \times a'\) et \(b = d \times b'\) (où \(d\) est le PGCD). Le piège fatal : oublier de vérifier à la fin de l'exercice que \(a'\) et \(b'\) sont bien premiers entre eux. Si tu oublies cette condition, tu valideras de fausses solutions.

Prends une feuille de brouillon pour poser tes décompositions proprement. À toi de jouer, tu as toutes les clés en main pour réussir !