11. Résoudre une équation simple avec les congruences

Comment résoudre une équation avec les congruences en Terminale Maths expertes ?

Dans le chapitre d'arithmétique de Terminale Maths expertes, tu vas vite te rendre compte que travailler avec des congruences ressemble beaucoup aux équations classiques, mais avec quelques subtilités de calcul. Les règles de base sont simples : tu as le droit d'ajouter ou de soustraire un même nombre des deux côtés d'une congruence, de multiplier les deux membres par un même entier, ou encore de les élever à une même puissance. L'autre principe fondamental est la transitivité : tu peux remplacer n'importe quel nombre par un entier qui lui est congru.

Regardons en détail l'exemple détaillé dans la vidéo pour comprendre la méthode. Nous voulons résoudre l'équation :

Tout d'abord, on agit exactement comme dans une équation normale. On cherche à isoler le terme en \(x\) en retranchant \(1\) de chaque côté :

Ensuite, on simplifie les nombres grâce aux propriétés du modulo. Puisque la division euclidienne de \(4\) par \(3\) donne un quotient de \(1\) et un reste de \(1\), on sait que \(4 \equiv 1 \pmod{3}\). On a donc le droit de remplacer le \(4\) du membre de droite par un \(1\) :

On applique exactement la même logique au coefficient situé devant le \(x\). En effet, on peut décomposer \(4x = 3x + x\), ce qui prouve que modulo \(3\), le terme \(3x\) disparaît et qu'il nous reste \(4x \equiv x \pmod{3}\). On remplace donc le coefficient \(4\) par \(1\) :

L'équation est résolue ! L'ensemble des solutions correspond à tous les entiers relatifs qui peuvent s'écrire sous la forme \(x = 3k + 1\), avec \(k \in \mathbb{Z}\).

Pourquoi ne peut-on pas diviser dans une équation de congruence ?

C'est l'erreur la plus fréquente des élèves ! Face à une équation comme \(4x \equiv 1 \pmod{3}\), tu serais peut-être tenté de tout diviser par \(4\) pour obtenir \(x \equiv \frac{1}{4} \pmod{3}\). C'est strictement interdit. En arithmétique, on ne travaille qu'avec des nombres entiers, l'écriture fractionnaire n'a aucun sens ici.

Pour contourner ce problème, on simplifie les coefficients comme vu au-dessus, ou bien on utilisera plus tard la méthode de l'inverse modulaire. Mais attention, si tu as une équation du type \(2x \equiv 10 \pmod{12}\), tu ne dois pas non plus diviser directement les deux membres de la congruence par \(2\) sans précaution. La méthode infaillible est de revenir à la définition fondamentale de la division euclidienne :

Sous forme d'égalité, tu as le droit de diviser toute la ligne par \(2\), ce qui te donne \(x = 5 + 6k\). En repassant en notation congruence, tu obtiens \(x \equiv 5 \pmod{6}\). Remarque bien le piège : le modulo a changé ! Il a été divisé par \(2\) lui aussi.

Comment s'entraîner sur les équations modulaires et repérer les pièges ?

Pour acquérir des automatismes solides avant d'attaquer les calculs d'inverses, tu as 6 exercices interactifs à ta disposition pour t'entraîner étape par étape :

• Exercices 1, 2 et 3 : Ils ciblent la maîtrise des additions, soustractions et simplifications de gros coefficients. Le piège classique est de mal gérer un signe négatif (par exemple \(-x\)) et de ne pas penser à réduire ton \(x\) avec un reste strictement positif et inférieur au modulo.
• Exercices 4 et 5 : Ce sont les fameuses équations où la division est tentante ! L'objectif est de te forcer à repasser par la forme algébrique \(ax = b + nk\) pour simplifier correctement toute l'équation (sans oublier le modulo), puis de lister toutes les classes de solutions en revenant au modulo initial demandé.
• Exercice 6 : On aborde ici une équation du second degré du type \(x^2 \equiv 1 \pmod{7}\). La stratégie est différente des équations du premier degré : puisque le modulo est petit, il faut dresser un tableau de congruences (disjonction des cas). Il s'agit de tester systématiquement les restes possibles de \(0\) à \(6\) pour trouver ceux dont le carré est congru à \(1\).

Prends un papier, un crayon, et affronte ces petits calculs réguliers. C'est l'entraînement idéal pour devenir un champion de l'arithmétique !