12. Déterminer l'inverse d'un nombre dans les congruences

Comment savoir si un nombre admet un inverse modulo n en Terminale Maths expertes ?

En arithmétique, face à une équation du type \(3x \equiv 2 \ [7]\), ton premier réflexe serait sûrement de diviser par 3 pour isoler \(x\). C'est strictement interdit avec les congruences ! Au lieu de diviser, tu vas devoir multiplier les deux membres par ce qu'on appelle "l'inverse" de 3 modulo 7.

Mais attention, cet inverse n'existe pas toujours. Le théorème fondamental à vérifier avant tout calcul est le suivant : un entier \(a\) admet un inverse modulo \(n\) si et seulement si \(a\) et \(n\) sont premiers entre eux, c'est-à-dire si \(\text{PGCD}(a, n) = 1\). Par exemple, pour notre équation \(3x \equiv 2 \ [7]\), on constate que 3 et 7 sont des nombres premiers, donc \(\text{PGCD}(3, 7) = 1\). L'inverse de 3 modulo 7 existe bel et bien, on peut partir à sa recherche !

Quelle est la méthode pour déterminer l'inverse d'un nombre dans les congruences ?

Puisque l'on travaille modulo 7, l'inverse cherché (notons-le \(i\)) est nécessairement un entier compris entre 0 et 6. Ton objectif est de trouver la valeur de \(i\) telle que \(3i \equiv 1 \ [7]\).

La méthode enseignée en vidéo est diablement efficace : elle consiste à tester les cas possibles un par un dans l'ordre.

• Si \(i = 0\), alors \(3 \times 0 = 0 \equiv 0 \ [7]\)
• Si \(i = 1\), alors \(3 \times 1 = 3 \equiv 3 \ [7]\)
• Si \(i = 2\), alors \(3 \times 2 = 6 \equiv 6 \ [7]\) (Toujours pas 1 !)
• Si \(i = 3\), alors \(3 \times 3 = 9 \equiv 2 \ [7]\)
• Si \(i = 4\), alors \(3 \times 4 = 12 \equiv 5 \ [7]\)
• Si \(i = 5\), alors \(3 \times 5 = 15 \equiv 1 \ [7]\)

Bingo ! L'inverse de 3 modulo 7 est 5.

Petite astuce pour gagner du temps : on avait remarqué que \(3 \times 2 = 6 \equiv -1 \ [7]\). En multipliant cette égalité par \(-1\), on obtient immédiatement \(3 \times (-2) \equiv 1 \ [7]\). Et comme \(-2 \equiv 5 \ [7]\), on retrouve bien notre 5 beaucoup plus vite.

Comment résoudre une équation modulaire avec l'inverse trouvé ?

Reprenons notre équation de départ \(3x \equiv 2 \ [7]\). Maintenant que tu connais l'inverse de 3, il te suffit de multiplier chaque côté de la congruence par 5 :

Puisque nous avons calculé que \(15 \equiv 1 \ [7]\), et que de l'autre côté \(10 \equiv 3 \ [7]\), notre équation se simplifie instantanément en \(x \equiv 3 \ [7]\).

Attention à la rigueur de ta rédaction : multiplier par un entier dans une congruence préserve l'implication, mais pour garantir une équivalence totale des solutions, il est conseillé de rédiger une petite réciproque. Repars de ta solution : si \(x \equiv 3 \ [7]\), alors \(3x \equiv 3 \times 3 \equiv 9 \equiv 2 \ [7]\). On retombe exactement sur l'équation initiale, ta solution est validée !

Que font travailler nos exercices interactifs et quels sont les pièges à éviter ?

Pour maîtriser ce chapitre fondamental, la plateforme te propose 6 exercices progressifs :

• Les exercices 1 et 2 te feront appliquer la méthode des tests successifs pour trouver un inverse et résoudre des équations pas à pas. Le piège classique est de s'emmêler dans les multiples ; pense à bien réduire tes restes modulo \(n\) au fur et à mesure.
• L'exercice 3 t'alerte sur le grand piège des conditions d'existence. Tu devras tester si 3 admet un inverse modulo 6. Attention, as-tu bien vérifié leur PGCD ? Tu risques de tourner en rond si tu oublies le théorème.
• L'exercice 4 corse l'équation en ajoutant une constante. Tu devras d'abord isoler le terme en \(x\) avant d'appliquer la méthode de l'inverse.
• L'exercice 5 t'apprend l'efficacité. Parfois, l'énoncé te donne indirectement un inverse. Il faut savoir lire entre les lignes pour l'utiliser sans avoir à refaire le tableau des tests.
• L'exercice 6 applique l'inverse modulaire à la cryptographie via le chiffrement affine, une compétence très demandée au bac. Tu apprendras à déchiffrer un message secret en inversant la formule de codage de base.

Prends une feuille de brouillon, lance-toi dans les tests des restes et résous ces 6 exercices pour que les congruences n'aient plus aucun secret pour toi !