8. Valeurs possibles du quotient et du reste dans une division euclidienne

Comment trouver les valeurs du diviseur et du reste d'une division euclidienne en Terminale Maths expertes ?

En classe de Terminale, l'arithmétique demande une grande rigueur. Tu vas régulièrement croiser des problèmes où l'on connaît le dividende et le quotient, mais où le diviseur et le reste sont inconnus. Pour résoudre ce type d'exercice, il ne faut pas tâtonner au hasard, mais utiliser une méthode algébrique basée sur un encadrement.

Rappelons d'abord la règle absolue : dans la division euclidienne d'un entier naturel \(a\) (le dividende) par un entier naturel non nul \(b\) (le diviseur), il existe un unique couple quotient-reste \((q, r)\) tel que :

La condition la plus importante, et souvent celle qui permet de conclure un exercice, est que le reste doit être positif ou nul, et strictement inférieur au diviseur : \(0 \leqslant r \lt b\).

Quelle est la méthode pour encadrer le diviseur avec le dividende et le quotient ?

Reprenons l'exemple détaillé dans la vidéo de cours. Tu disposes d'un dividende de \(810\), tu le divises par un entier inconnu \(b\), et l'énoncé t'indique que le quotient est \(23\).

Puisque le quotient est \(23\), cela signifie que le diviseur \(b\) rentre \(23\) fois entières dans \(810\). Si le reste était nul, on aurait exactement \(23b = 810\). Comme il y a un reste positif ou nul, on est certain que la multiplication est inférieure ou égale au dividende : \(23b \leqslant 810\). En divisant par \(23\), on obtient \(b \leqslant \frac{810}{23}\). Sachant que \(\frac{810}{23} \approx 35,21\) et que \(b\) est obligatoirement un entier, on en déduit que \(b \leqslant 35\).

À l'inverse, si le quotient n'est "que" de \(23\), c'est que \(b\) ne rentre pas \(24\) fois dans le dividende. Si l'on multipliait \(b\) par \(24\), on dépasserait strictement \(810\). L'inéquation devient donc \(24b \gt 810\). En divisant par \(24\), on obtient \(b \gt \frac{810}{24}\), c'est-à-dire \(b \gt 33,75\). L'entier \(b\) est donc supérieur ou égal à \(34\).

Grâce à cette double inéquation, notre encadrement est terminé : l'entier \(b\) ne peut valoir que \(34\) ou \(35\). Il ne reste plus qu'à calculer les restes correspondants :

• Si \(b = 34\), on a \(810 = 23 \times 34 + r\), d'où un reste \(r = 810 - 782 = 27\). On vérifie bien que \(27 \lt 34\), cette solution est valide.
• Si \(b = 35\), on a \(810 = 23 \times 35 + r\), d'où un reste \(r = 810 - 805 = 5\). On vérifie bien que \(5 \lt 35\), cette solution est également valide.

Les deux seules solutions possibles pour le couple diviseur-reste sont donc \((34, 27)\) et \((35, 5)\).

Quels sont les pièges à éviter sur la division euclidienne en exercice ?

Les six exercices interactifs proposés sur cette page te font travailler toutes les subtilités de la division euclidienne pour que tu sois totalement à l'aise. Voici ce qu'ils attendent de toi et les erreurs classiques à esquiver :

• Maîtriser la double inéquation : Les premiers exercices te demandent d'appliquer exactement la méthode vue plus haut. Garde en tête la formule générale pour encadrer ton diviseur de manière systématique : \(qb \leqslant \text{dividende} \lt (q+1)b\).
• Utiliser la majoration du reste : C'est le piège numéro un ! Si un énoncé te donne directement la valeur du reste, n'oublie jamais que le diviseur doit obligatoirement être strictement plus grand que ce dernier (\(b \gt r\)). Par exemple, si l'on te donne un reste de \(49\), ton diviseur sera au minimum égal à \(50\).
• Traduire le français en langage mathématique : Tu auras des situations du type « le quotient est égal au reste ». Traduis cela simplement en posant \(q = r\) dans ton équation de base, ce qui te permettra de factoriser l'expression. La règle \(r \lt b\) te servira à limiter le nombre de solutions.
• Résoudre des systèmes d'équations : Dans les derniers exercices, tu devras gérer deux divisions euclidiennes simultanées ou exploiter une différence entre deux entiers. Pose très clairement tes équations de la forme \(a = bq + r\) et utilise la méthode par substitution pour isoler et déduire tes variables pas à pas.